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Änderungen von Dokument Lösung Analysis - Lehrerauswahl II

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/16 18:25
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -89,15 +89,14 @@
89 89  
90 90  === Teilaufgabe d) ===
91 91  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
92 -[[image:Lösungd).png||width="250" style="float: right"]]
93 93  Schnittstellen: {{formula}} \frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2=\frac{9}{8}\Leftrightarrow x^{4}-8x^{2}+7=0 {{/formula}}
94 94  <br>
95 95  {{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}}
96 -
97 97  <br>
98 98  {{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}}
99 99  
100 100  <br>
99 +
101 101  {{formula}} \int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx -1{,}18 {{/formula}}
102 102  
103 103  <br>
... ... @@ -112,7 +112,6 @@
112 112  </p>
113 113  //Lösung//
114 114  <br>
115 -[[image:Lösungd).png||width="250" style="float: right"]]
116 116  Um die Schnittstellen zu berechnen, setzen wir {{formula}}f(x){{/formula}} mit {{formula}}y=\frac{9}{8}{{/formula}} gleich und formen um:
117 117  <br>
118 118  {{formula}}
... ... @@ -132,35 +132,25 @@
132 132  <br>
133 133  {{formula}}
134 134  \begin{align*}
135 -z_{1,2}&=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\
136 -\Leftrightarrow z_1&=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1
133 +z_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\
134 +\Leftrightarrow z_1=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1
137 137  \end{align*}
138 138  {{/formula}}
139 139  <br>
140 -Resubstitution ({{formula}}z=x^2{{/formula}}):
138 +{{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}}
141 141  <br>
142 -{{formula}}x^2=7 \ \Leftrightarrow \ x_{1/2}=\pm\sqrt{7}{{/formula}}
143 -<br>
144 -{{formula}}x^2=1 \ \Leftrightarrow \ x_{3/4}=\pm \sqrt{1}=\pm 1 {{/formula}}
140 +{{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}}
145 145  
146 146  <br>
147 -Wir berechnen jeweils den eingeschlossenen Flächeninhalt zwischen der Geraden und dem Graphen:
148 -<br>
149 149  
150 -{{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{40}x^5-\frac{1}{3}x^3+\frac{7}{8}x\right]_{-1}^1 =\frac{17}{5} \approx 1{,}13 {{/formula}}
144 +{{formula}} \int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx -1{,}18 {{/formula}}
151 151  
152 -<p></p>
153 -
154 -{{formula}} \left|\int_{-\sqrt{7}}^{-1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \right|=\left|\int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \right| \approx |-1{,}18|=1{,}18 {{/formula}}
155 -
156 -<p></p>
157 -Die von den Graphen eingeschlossene Fläche oberhalb der Geraden ist also kleiner als jede der beiden wegen der Achsensymmetrie gleich großen Flächen unterhalb der Geraden. Die Gerade muss also nach unten verschoben werden, damit alle betrachteten Flächen gleich groß sind.
158 158  {{/detail}}
159 159  
160 160  == 1.2 ==
161 161  === Teilaufgabe a) ===
162 162  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
163 -[[image:Lösung1.2a).png||width="300"]]
151 +[[image:1.2a.png||width="300"]]
164 164  {{/detail}}
165 165  
166 166  
... ... @@ -174,7 +174,7 @@
174 174  //Lösung//
175 175  <br>
176 176  Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
177 -[[image:Lösung1.2a).png||width="300"]]
165 +[[image:1.2a.png||width="300"]]
178 178  {{/detail}}
179 179  
180 180  
... ... @@ -319,9 +319,12 @@
319 319  === Teilaufgabe a) ===
320 320  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
321 321  Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
322 -<br>
323 -{{formula}}
324 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}
310 +<br><p>
311 +Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
312 +{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.
313 +</p>
314 +Daher {{formula}}
315 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
325 325  {{/formula}}.
326 326  {{/detail}}
327 327  
... ... @@ -331,11 +331,11 @@
331 331  <br><p>
332 332  Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.
333 333  <p></p>
334 -Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
325 + Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
335 335  </p>
336 336  //Lösung//
337 337  <br>
338 -Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0)= 81{{/formula}}
329 +Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
339 339  <br>
340 340  Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}}
341 341  <br>
... ... @@ -349,7 +349,7 @@
349 349  {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird.
350 350  <p></p>
351 351  Daher {{formula}}
352 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n =81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}
343 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
353 353  {{/formula}}.
354 354  {{/detail}}
355 355  
Lösung1.2a).png
Author
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1 -XWiki.akukin
Größe
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1 -70.9 KB
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Lösungd).png
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1 -XWiki.akukin
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