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Änderungen von Dokument Lösung Analysis - Lehrerauswahl II

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/16 18:25
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -89,11 +89,9 @@
89 89  
90 90  === Teilaufgabe d) ===
91 91  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
92 -[[image:Lösungd).png||width="250" style="float: right"]]
93 93  Schnittstellen: {{formula}} \frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2=\frac{9}{8}\Leftrightarrow x^{4}-8x^{2}+7=0 {{/formula}}
94 94  <br>
95 95  {{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}}
96 -
97 97  <br>
98 98  {{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}}
99 99  
... ... @@ -112,7 +112,6 @@
112 112  </p>
113 113  //Lösung//
114 114  <br>
115 -[[image:Lösungd).png||width="250" style="float: right"]]
116 116  Um die Schnittstellen zu berechnen, setzen wir {{formula}}f(x){{/formula}} mit {{formula}}y=\frac{9}{8}{{/formula}} gleich und formen um:
117 117  <br>
118 118  {{formula}}
... ... @@ -132,35 +132,28 @@
132 132  <br>
133 133  {{formula}}
134 134  \begin{align*}
135 -z_{1,2}&=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\
136 -\Leftrightarrow z_1&=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1
132 +z_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\
133 +\Leftrightarrow z_1=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1
137 137  \end{align*}
138 138  {{/formula}}
139 139  <br>
140 -Resubstitution ({{formula}}z=x^2{{/formula}}):
141 -<br>
142 -{{formula}}x^2=7 \ \Leftrightarrow \ x_{1/2}=\pm\sqrt{7}{{/formula}}
143 -<br>
144 -{{formula}}x^2=1 \ \Leftrightarrow \ x_{3/4}=\pm \sqrt{1}=\pm 1 {{/formula}}
137 +{{formula}} \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 {{/formula}}
145 145  
146 -<br>
147 147  Wir berechnen jeweils den eingeschlossenen Flächeninhalt zwischen der Geraden und dem Graphen:
148 -<br>
149 149  
150 -{{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{40}x^5-\frac{1}{3}x^3+\frac{7}{8}x\right]_{-1}^1 =\frac{17}{5} \approx 1{,}13 {{/formula}}
141 +<br>
142 +{{formula}} \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 {{/formula}}
151 151  
152 -<p></p>
144 +<br>
153 153  
154 -{{formula}} \left|\int_{-\sqrt{7}}^{-1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \right|=\left|\int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \right| \approx |-1{,}18|=1{,}18 {{/formula}}
146 +{{formula}} \int_{1}^{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx -1{,}18 {{/formula}}
155 155  
156 -<p></p>
157 -Die von den Graphen eingeschlossene Fläche oberhalb der Geraden ist also kleiner als jede der beiden wegen der Achsensymmetrie gleich großen Flächen unterhalb der Geraden. Die Gerade muss also nach unten verschoben werden, damit alle betrachteten Flächen gleich groß sind.
158 158  {{/detail}}
159 159  
160 160  == 1.2 ==
161 161  === Teilaufgabe a) ===
162 162  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
163 -[[image:Lösung1.2a).png||width="300"]]
153 +[[image:1.2a.png||width="300"]]
164 164  {{/detail}}
165 165  
166 166  
... ... @@ -174,7 +174,7 @@
174 174  //Lösung//
175 175  <br>
176 176  Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
177 -[[image:Lösung1.2a).png||width="300"]]
167 +[[image:1.2a.png||width="300"]]
178 178  {{/detail}}
179 179  
180 180  
... ... @@ -319,9 +319,12 @@
319 319  === Teilaufgabe a) ===
320 320  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
321 321  Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
322 -<br>
323 -{{formula}}
324 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}
312 +<br><p>
313 +Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
314 +{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.
315 +</p>
316 +Daher {{formula}}
317 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
325 325  {{/formula}}.
326 326  {{/detail}}
327 327  
... ... @@ -331,11 +331,11 @@
331 331  <br><p>
332 332  Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.
333 333  <p></p>
334 -Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
327 + Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
335 335  </p>
336 336  //Lösung//
337 337  <br>
338 -Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0)= 81{{/formula}}
331 +Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
339 339  <br>
340 340  Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}}
341 341  <br>
... ... @@ -348,8 +348,8 @@
348 348  Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
349 349  {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird.
350 350  <p></p>
351 -Daher: {{formula}}
352 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n =81\cdot \left(e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}\right)^n=81\cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n}
344 +Daher {{formula}}
345 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
353 353  {{/formula}}.
354 354  {{/detail}}
355 355  
... ... @@ -356,14 +356,14 @@
356 356  === Teilaufgabe b) ===
357 357  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
358 358  {{formula}}
359 -81 \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < 0{,}01 \
360 -\Leftrightarrow \ e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} < \frac{1}{8100} \ \Leftrightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n <\ln\left(\frac{1}{8100}\right)
352 +81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \
353 +\Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100}
361 361  {{/formula}}
362 362  <br>
363 363  liefert
364 364  <br>
365 365  {{formula}}
366 -n > \frac{\ln\left(\frac{1}{8100}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} \approx 12{,}98
359 +n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98
367 367  {{/formula}}
368 368  <br>
369 369  Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
... ... @@ -377,19 +377,19 @@
377 377  </p>
378 378  //Lösung//
379 379  <br>
380 -Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} &< 0{,}01{{/formula}}
373 +Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}}
381 381  <br>
382 382  Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert:
383 383  <br>
384 384  {{formula}}
385 385  \begin{align*}
386 -81 \cdot \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} &< 0{,}01=\frac{1}{100} &&\mid :81\\
387 -\Leftrightarrow e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n} &< \frac{1}{8100} &&\mid \ln \\
388 -\Leftrightarrow \ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot n &< \ln\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid: \ln\left(\frac{1}{2}\right)\\
389 -n &> \frac{\ln\left(\frac{1}{8100}\right)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} \approx 12{,}98
379 +81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\
380 +\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\
381 +\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\
382 +\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\
383 +\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98
390 390  \end{align*}
391 391  {{/formula}}
392 -
393 393  <br>
394 394  Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
395 395  <p></p>
Lösung1.2a).png
Author
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1 -XWiki.akukin
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1 -70.9 KB
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Lösungd).png
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1 -XWiki.akukin
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