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Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
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am 2026/01/17 13:28
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,19 +21,40 @@
21 21  
22 22  
23 23  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 -
24 +//Aufgabenstellung//
25 +<br><p>
26 +Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 +</p>
28 +//Lösung//
29 +<br>
30 +Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 +<br>
32 +{{formula}}
33 +g(x) = ax^2 + bx + c
34 +{{/formula}}
35 +<p></p>
36 +Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
37 +
38 +* Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
39 +{{formula}}
40 +g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 +{{/formula}}
42 +* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
43 +g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 +{{/formula}}
45 +* Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 +g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 +<p></p>
48 +Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
49 +{{/formula}}
25 25  {{/detail}}
26 26  
27 27  === Teilaufgabe b) ===
28 28  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
29 -[[image:beispiel.jpg]]
54 +[[image:b.png||width="300"]]
30 30  {{/detail}}
31 31  
32 32  
33 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
34 -
35 -{{/detail}}
36 -
37 37  === Teilaufgabe c) ===
38 38  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
39 39  <p>
... ... @@ -47,10 +47,6 @@
47 47  {{/detail}}
48 48  
49 49  
50 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
51 -
52 -{{/detail}}
53 -
54 54  === Teilaufgabe d) ===
55 55  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
56 56  {{formula}}
... ... @@ -63,7 +63,22 @@
63 63  
64 64  
65 65  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
66 -
83 +//Aufgabenstellung//
84 +<br><p>
85 +Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
86 +</p>
87 +//Lösung//
88 +<br>
89 +Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
90 +<br>
91 + {{formula}}
92 +\begin{align*}
93 +F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
94 +&= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
95 +\end{align*}
96 +{{/formula}}
97 +<br>
98 +Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
67 67  {{/detail}}
68 68  
69 69  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -70,7 +70,7 @@
70 70  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
71 71  (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
72 72  <br>
73 -(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3.
105 +(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
74 74  <br>
75 75  (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
76 76  {{/detail}}
... ... @@ -77,7 +77,25 @@
77 77  
78 78  
79 79  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
80 -
112 +//Aufgabenstellung//
113 +<br><p>
114 +Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
115 +<br>
116 +Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
117 +<br>
118 +(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall [-2; 2] einmal.
119 +<br>
120 +(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
121 +<br>
122 +(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
123 +</p>
124 +//Lösung//
125 +<br>
126 +(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
127 +<br>
128 +(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
129 +<br>
130 +(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
81 81  {{/detail}}
82 82  
83 83  === Teilaufgabe f) ===
... ... @@ -86,14 +86,10 @@
86 86  <br><p>
87 87  Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2.
88 88  Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0.
89 -Es entstehen unterschiedliche Graphen.
139 +Es entstehen also unterschiedliche Graphen.
90 90  </p>
91 91  Aussage (2):
92 92  <br>
93 -Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. DDie anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
143 +Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
94 94  {{/detail}}
95 95  
96 -
97 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98 -
99 -{{/detail}}