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Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
Von Version 6.1
bearbeitet von akukin
am 2026/01/17 13:28
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bearbeitet von akukin
am 2025/12/29 19:30
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,32 +21,7 @@
21 21  
22 22  
23 23  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 -//Aufgabenstellung//
25 -<br><p>
26 -Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 -</p>
28 -//Lösung//
29 -<br>
30 -Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 -<br>
32 -{{formula}}
33 -g(x) = ax^2 + bx + c
34 -{{/formula}}
35 -<p></p>
36 -Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
37 -
38 -* Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
39 -{{formula}}
40 -g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 -{{/formula}}
42 -* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
43 -g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 -{{/formula}}
45 -* Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 -g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 -<p></p>
48 -Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
49 -{{/formula}}
24 +
50 50  {{/detail}}
51 51  
52 52  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -55,6 +55,10 @@
55 55  {{/detail}}
56 56  
57 57  
33 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
34 +
35 +{{/detail}}
36 +
58 58  === Teilaufgabe c) ===
59 59  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
60 60  <p>
... ... @@ -68,6 +68,10 @@
68 68  {{/detail}}
69 69  
70 70  
50 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
51 +
52 +{{/detail}}
53 +
71 71  === Teilaufgabe d) ===
72 72  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
73 73  {{formula}}
... ... @@ -80,22 +80,7 @@
80 80  
81 81  
82 82  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
83 -//Aufgabenstellung//
84 -<br><p>
85 -Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
86 -</p>
87 -//Lösung//
88 -<br>
89 -Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
90 -<br>
91 - {{formula}}
92 -\begin{align*}
93 -F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
94 -&= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
95 -\end{align*}
96 -{{/formula}}
97 -<br>
98 -Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
66 +
99 99  {{/detail}}
100 100  
101 101  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -102,7 +102,7 @@
102 102  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
103 103  (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
104 104  <br>
105 -(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
73 +(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3.
106 106  <br>
107 107  (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
108 108  {{/detail}}
... ... @@ -109,25 +109,7 @@
109 109  
110 110  
111 111  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
112 -//Aufgabenstellung//
113 -<br><p>
114 -Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
115 -<br>
116 -Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
117 -<br>
118 -(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall [-2; 2] einmal.
119 -<br>
120 -(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
121 -<br>
122 -(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
123 -</p>
124 -//Lösung//
125 -<br>
126 -(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
127 -<br>
128 -(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
129 -<br>
130 -(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
80 +
131 131  {{/detail}}
132 132  
133 133  === Teilaufgabe f) ===
... ... @@ -143,3 +143,7 @@
143 143  Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
144 144  {{/detail}}
145 145  
96 +
97 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98 +
99 +{{/detail}}