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Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
Von Version 6.1
bearbeitet von akukin
am 2026/01/17 13:28
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/17 16:52
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -45,6 +45,7 @@
45 45  * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 46  g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 47  <p></p>
48 +
48 48  Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
49 49  {{/formula}}
50 50  {{/detail}}
... ... @@ -55,6 +55,19 @@
55 55  {{/detail}}
56 56  
57 57  
59 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60 +//Aufgabenstellung//
61 +<br><p>
62 +Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}.
63 +</p>
64 +//Lösung//
65 +<br>
66 +Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
67 +<br>
68 +
69 +[[image:b.png||width="300"]]
70 +{{/detail}}
71 +
58 58  === Teilaufgabe c) ===
59 59  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
60 60  <p>
... ... @@ -61,7 +61,7 @@
61 61  Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
62 62  </p>
63 63  {{formula}}
64 -\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x
78 +\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
65 65  = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
66 66  = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
67 67  {{/formula}}
... ... @@ -68,6 +68,31 @@
68 68  {{/detail}}
69 69  
70 70  
85 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 +//Aufgabenstellung//
87 +<br><p>
88 +Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
89 +</p>
90 +//Lösung//
91 +<br>
92 +Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
93 +<p></p>
94 +Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
95 +<br>
96 +{{formula}}
97 +\begin{align*}
98 +\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
99 +&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\
100 +&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\
101 +&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\
102 +&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\
103 +&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9}
104 +\end{align*}
105 +{{/formula}}
106 +<p></p>
107 +Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left|\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x \right|=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}.
108 +{{/detail}}
109 +
71 71  === Teilaufgabe d) ===
72 72  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
73 73  {{formula}}
... ... @@ -115,7 +115,7 @@
115 115  <br>
116 116  Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
117 117  <br>
118 -(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall [-2; 2] einmal.
157 +(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal.
119 119  <br>
120 120  (2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
121 121  <br>
... ... @@ -143,3 +143,37 @@
143 143  Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
144 144  {{/detail}}
145 145  
185 +
186 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
187 +//Aufgabenstellung//
188 +<br><p>
189 +Der Graph der Funktion {{formula}} h {{/formula}} entsteht, indem {{formula}} K_{f} {{/formula}} zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird.
190 +<p></p>
191 +Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:
192 +<br>
193 +(1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle.
194 +<br>
195 +(2) Es gilt {{formula}} f(1)=0 {{/formula}}. Damit ist {{formula}} h(-2)=0 {{/formula}}.
196 +</p>
197 +//Lösung//
198 +<br>
199 +__Aussage (1): __
200 +<br>
201 +Wir betrachten im folgenden die Nullstelle {{formula}}x=1{{/formula}} von {{formula}}f(x){{/formula}}.
202 +<p></p>
203 +Zuerst Verschieben, dann Spiegeln:
204 +<br>
205 +Durch das Verschieben um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle um 1 nach rechts. Das heißt, die Nullstelle wird zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Spiegeln wir anschließend den Graphen an der y-Achse, so wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-2{{/formula}}.
206 +<p></p>
207 +Zuerst Spiegeln, dann Verschieben:
208 +<br>
209 +Durch das Spiegeln wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-1{{/formula}}. Verschieben wir anschließend den Graphen um 1 nach rechts, so erhalten wir die Nullstelle {{formula}}x=0{{/formula}}.
210 +<p></p>
211 +Da die Nullstellen nicht übereinstimmen, spielt die Reihenfolge der beiden Transformationen eine Rolle.
212 +
213 +<p></p>
214 +__Aussage (2): __
215 +<br>
216 +Wir haben bei Aussage (1) bereits festgestellt:
217 +<br>
218 +Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}, das heißt {{formula}}h(-2)=0{{/formula}}.