Änderungen von Dokument Lösung Analysis
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Zusammenfassung
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Details
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- Inhalt
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... ... @@ -45,6 +45,7 @@ 45 45 * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}} 46 46 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}} 47 47 <p></p> 48 + 48 48 Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1 49 49 {{/formula}} 50 50 {{/detail}} ... ... @@ -55,6 +55,19 @@ 55 55 {{/detail}} 56 56 57 57 59 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 60 +//Aufgabenstellung// 61 +<br><p> 62 +Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}. 63 +</p> 64 +//Lösung// 65 +<br> 66 +Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen: 67 +<br> 68 + 69 +[[image:b.png||width="300"]] 70 +{{/detail}} 71 + 58 58 === Teilaufgabe c) === 59 59 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 60 60 <p> ... ... @@ -61,7 +61,7 @@ 61 61 Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}} 62 62 </p> 63 63 {{formula}} 64 -\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x78 +\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x 65 65 = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 66 66 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9} 67 67 {{/formula}} ... ... @@ -68,6 +68,31 @@ 68 68 {{/detail}} 69 69 70 70 85 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 86 +//Aufgabenstellung// 87 +<br><p> 88 +Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt. 89 +</p> 90 +//Lösung// 91 +<br> 92 +Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}} 93 +<p></p> 94 +Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen: 95 +<br> 96 +{{formula}} 97 +\begin{align*} 98 +\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x 99 +&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\ 100 +&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\ 101 +&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\ 102 +&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\ 103 +&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9} 104 +\end{align*} 105 +{{/formula}} 106 +<p></p> 107 +Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left|\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x \right|=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}. 108 +{{/detail}} 109 + 71 71 === Teilaufgabe d) === 72 72 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 73 73 {{formula}} ... ... @@ -115,7 +115,7 @@ 115 115 <br> 116 116 Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}. 117 117 <br> 118 -(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall [-2; 157 +(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal. 119 119 <br> 120 120 (2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}. 121 121 <br> ... ... @@ -135,7 +135,7 @@ 135 135 Aussage (1): 136 136 <br><p> 137 137 Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2. 138 -Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0. 177 +Wird zuerst an der y-Achse gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0. 139 139 Es entstehen also unterschiedliche Graphen. 140 140 </p> 141 141 Aussage (2): ... ... @@ -143,3 +143,37 @@ 143 143 Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}. 144 144 {{/detail}} 145 145 185 + 186 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 187 +//Aufgabenstellung// 188 +<br><p> 189 +Der Graph der Funktion {{formula}} h {{/formula}} entsteht, indem {{formula}} K_{f} {{/formula}} zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird. 190 +<p></p> 191 +Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind: 192 +<br> 193 +(1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle. 194 +<br> 195 +(2) Es gilt {{formula}} f(1)=0 {{/formula}}. Damit ist {{formula}} h(-2)=0 {{/formula}}. 196 +</p> 197 +//Lösung// 198 +<br> 199 +__Aussage (1): __ 200 +<br> 201 +Wir betrachten im folgenden die Nullstelle {{formula}}x=1{{/formula}} von {{formula}}f(x){{/formula}}. 202 +<p></p> 203 +Zuerst Verschieben, dann Spiegeln: 204 +<br> 205 +Durch das Verschieben um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle um 1 nach rechts. Das heißt, die Nullstelle wird zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Spiegeln wir anschließend den Graphen an der y-Achse, so wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-2{{/formula}}. 206 +<p></p> 207 +Zuerst Spiegeln, dann Verschieben: 208 +<br> 209 +Durch das Spiegeln wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-1{{/formula}}. Verschieben wir anschließend den Graphen um 1 nach rechts, so erhalten wir die Nullstelle {{formula}}x=0{{/formula}}. 210 +<p></p> 211 +Da die Nullstellen nicht übereinstimmen, spielt die Reihenfolge der beiden Transformationen eine Rolle. 212 + 213 +<p></p> 214 +__Aussage (2): __ 215 +<br> 216 +Wir haben bei Aussage (1) bereits festgestellt: 217 +<br> 218 +Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}, das heißt {{formula}}h(-2)=0{{/formula}}.