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- 1.2a.png

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -10,24 +10,7 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um {{formula}}K_{g}{{/formula}} handeln kann.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Mögliche Argumente:
--<br>
--* Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
--<br>
--(Die Funktion {{formula}}g(x){{/formula}} besitzt die doppelten Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}})
--<br>
--* Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
--<br>
--(Die Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}} sind symmetrisch zur y-Achse)
--* Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
--<br>
--(Die Funktion {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=1\cdot x^4+ \dots{{/formula}} besitzt einen geraden Grad (Grad 4) und einen Leitkoeffizienten {{formula}}>0{{/formula}}. Somit gilt {{formula}}g(x)\rightarrow \infty{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow \pm \infty{{/formula}}.)
++
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe b) ===
@@ -37,16 +37,7 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Der Graph {{formula}} K_{f} {{/formula}} der Funktion {{formula}} f {{/formula}} mit {{formula}} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 {{/formula}} geht aus {{formula}} K_{g} {{/formula}} durch Streckung in {{formula}} y {{/formula}}-Richtung mit dem Faktor {{formula}} a {{/formula}} hervor.
--<br>
--Gib den Wert von {{formula}} a {{/formula}} an.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Ausmultiplizieren liefert: {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots{{/formula}}.
--Somit ist der Faktor {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}.
++
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe c) ===
@@ -66,48 +66,20 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von {{formula}} K_{f} {{/formula}} verläuft.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
--<br>
--Damit die Parabel durch die Punkte {{formula}}(-2|0), (2|0){{/formula}} und {{formula}}(0|2){{/formula}} verläuft, muss der Scheitel bei {{formula}}(0|2){{/formula}} liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben.
--<br>
--Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}}
--<br><p>
--Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}}
--0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}
--{{/formula}}
--</p>
--Damit: {{formula}}
--y = -\frac{1}{2}x^2 + 2
--{{/formula}}
++
  {{/detail}}
  == 1.2 ==
  === Teilaufgabe a) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
--[[image:1.2a.png||width="300"]]
++[[image:beispiel.jpg]]
  {{/detail}}
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Gegeben ist die Funktion {{formula}} h {{/formula}} mit {{formula}} h(x)=4\cdot \cos(x)+4 {{/formula}}. Ihr Graph ist {{formula}} K_{h} {{/formula}}.
--<br>
--Zeichne {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -\pi\le x\le\pi {{/formula}}.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
--[[image:1.2a.png||width="300"]]
++
  {{/detail}}
--
  === Teilaufgabe b) ===
  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
  {{formula}}
@@ -133,37 +133,7 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Zeige, dass die Gerade {{formula}} t {{/formula}} mit der Gleichung {{formula}} y=-4x+2\pi+4 {{/formula}} eine Tangente an den Graphen {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Punkt {{formula}} P(\frac{\pi}{2}|4) {{/formula}} ist.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Die Tangente muss durch den Punkt {{formula}}P\left(\frac{\pi}{2}|4\right){{/formula}} gehen und an der Stelle {{formula}}x=\frac{\pi}{2}{{/formula}} die selbe Steigung wie der Graph {{formula}}K_h{{/formula}}.
--<br>
--Das heißt, es muss geprüft werden, ob {{formula}}
--h\left(\frac{\pi}{2}\right) = t\left(\frac{\pi}{2}\right){{/formula}} und {{formula}}h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)
--{{/formula}} gilt:
--<p></p>
--{{formula}}
--t(x) = -4x + 2\pi + 4
--{{/formula}}
--<br>
--{{formula}}
--t'(x) = -4
--{{/formula}}
--<br>
--{{formula}}
--h'(x) = -4 \cdot \sin(x)
--{{/formula}}
--<br>
--{{formula}}
--h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)
--{{/formula}}
--<br>
--Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}}
--P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)
--{{/formula}}
++
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe c) ===
@@ -181,11 +181,11 @@
  {{/formula}}
  <br>
  {{formula}}
--b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}
++b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0,; \ u_2 = \frac{\pi}{2}
  {{/formula}}
  <br><p>
  {{formula}}
--b(0) = 8;\ \ b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
++b(0) = 8;\quad b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
  {{/formula}}
  </p>
  //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
@@ -193,56 +193,7 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}} P(u|h(u)) {{/formula}}, {{formula}} 0\le u\le\pi {{/formula}} schneidet die {{formula}} y {{/formula}}-Achse im Punkt {{formula}} S {{/formula}}. Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von {{formula}} S {{/formula}} maximal annehmen kann.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}.
--<br>
--Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}:
--<br>
--  {{formula}}
--h'(u) = -4 \cdot \sin(u)
--{{/formula}}
--<br>
--Damit lautet Tangente in {{formula}}P{{/formula}}:
--<br>
--{{formula}}
--y = -4\sin(u)\cdot x + b
--{{/formula}}
--<br>
--Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt:
--<br>
--{{formula}}
--h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b = 4\cdot \cos(u)+4
--{{/formula}}
--<br>
--Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}:
--<br>
--{{formula}}
--b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4
--{{/formula}}
--<p></p>
--Um nun zu bestimmen, welchen Wert {{formula}}b(u){{/formula}} maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion:
--<br>
--{{formula}}
--b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}
--{{/formula}}
--<br>
--Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert:
--<br>
--{{formula}}
--b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3
--{{/formula}}
--<br>
--Nun prüfen wir noch die obere Grenze {{formula}}\pi{{/formula}} für {{formula}}u{{/formula}}:
--{{formula}}b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0{{/formula}}
--<p></p>
--Somit ist {{formula}}b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3{{/formula}}
--<p></p>
--//Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
++
  {{/detail}}
  == 1.3 ==
@@ -251,7 +251,7 @@
  Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
  <br><p>
  Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
--{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.
++{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}}
  </p>
  Daher {{formula}}
  A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
@@ -260,30 +260,7 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.
--<p></p>
-- Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
--<br>
--Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot  \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}}
--<br>
--Nach dem zweiten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(2) = A(1)\cdot \frac{1}{2}=\left(81 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot  \left(\frac{1}{2}\right)^2=A(0)\cdot  \left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}}
--<br>
--Nach dem dritten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(3) = A(2)\cdot \frac{1}{2}=\left(81\cdot  \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot  \left(\frac{1}{2}\right)^3 =A(0)\cdot  \left(\frac{1}{2}\right)^3{{/formula}}
--<br>
--...
--<br>
--Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
--{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird.
--<p></p>
--Daher {{formula}}
--A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
--{{/formula}}.
++
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe b) ===
@@ -304,29 +304,7 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--//Aufgabenstellung//
--<br><p>
--Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.
--</p>
--//Lösung//
--<br>
--Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}}
--<br>
--Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert:
--<br>
--{{formula}}
--\begin{align*}
--81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\
--\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\
--\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\
--\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\
--\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right)  \approx 12,98
--\end{align*}
--{{/formula}}
--<br>
--Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
--<p></p>
--//Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
++
  {{/detail}}

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