Änderungen von Dokument Lösung Gitterpunkte

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-//Analyse: //
	1	+Analyse:
2	2
3		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 1.PNG||width="100" style="float: left"]]
4	4	Informative Skizze/n:
5		-
6	6	So könnte ein mögliches Dreieck aussehen. Es ist rechtwinklig und so platziert, dass
7	7	die Eckpunkte auf Gitterpunkten liegen. Auf der Hypotenuse liegt kein Gitterpunkt.
8		-
9		-
10		-
11		-
12		-
13		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 2.PNG||width="100" style="float: left"]]
14		-Hier sind die Gitterpunkte auf dem Rand des Dreiecks mit Kreisen, die Gitterpunkte im Inneren des Dreiecks mit Kreuzen gekennzeichnet.
15		-
16		-
17		-
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19		-
20		-
21		-
22		-//Festlegung der Variablen: //
23		-{{formula}} R(a,b) {{/formula}} steht für die Anzahl der Randpunkte bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b {{/formula}}.
24		-{{formula}} I(a,b){{/formula}} steht für die Anzahl Gitterpunkte im Inneren bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b{{/formula}} .
25		-
26		-//Durchführung: //
27		-
28		-Beispiel: Beim Dreieck oben, sind die Katheten 3 und 4 LE lang, man findet durch Abzählen 8 Gitterpunkte auf dem Rand, also {{formula}} R(3,4) = 8{{/formula}} und 3 Gitterpunkte im Inneren, also {{formula}} I(3,4) = 3{{/formula}}.
29		-
30		-Für weitere Überlegungen können weitere Skizzen herangezogen werden, z.B. für {{formula}} a = 5{{/formula}} und {{formula}} b = 12{{/formula}} (müssen aber nicht, die Argumentation lässt sich auch am Eingangsbeispiel nachvollziehen)
31		-
32		-**Randpunkte:**
33		-
34		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 3.PNG||width="140" style="float: left"]]
35		-
36		-Auf der Längsseite liegen 13 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 12 LE). Auf
37		-der Breitseite liegen 6 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 5 LE).
38		-Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
39		-Daher sind es insgesamt 13 + 6 – 1 = 18 Punkte.
40		-Somit ist {{formula}} R(5,12) = 18 {{/formula}}
41		-
42		-**Verallgemeinerung:**
43		-Allgemein erkennt man leicht:
44		-{{formula}}a + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge {{formula}} a{{/formula}}.
45		-{{formula}} b + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge {{formula}} b{{/formula}}.
46		-Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
47		-Es gilt also allgemein: {{formula}} R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1{{/formula}}
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49		-
50		-
51		-
52		-**Punkte im Inneren:**
53		-Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: {{formula}}I(5,12) = 22{{/formula}}.
54		-Abzählen ist für den allgemeinen Fall nicht zielführend,hierfür muss ein Schema gefunden werden.
55		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="140" style="float: left"]]
56		-Dadurch, dass keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse des Dreiecks liegen,
57		-lässt sich durch Erweiterung des Dreiecks auf ein Rechteck mit den
58		-Seitenlängen {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}b{{/formula}} die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren verdoppeln
59		-(diese Überlegungen lassen sich unabhängig davon anstellen, ob man
60		-tatsächlich ein Dreieck mit einer gitterpunktfreien Hypotenuse gefunden hat,
61		-die beiden Katheten dürften hierfür keine gemeinsamen Teiler besitzen).
62		-Im vorliegenden Beispiel (rechts) erhält man dadurch 11 Gitterpunktreihen
63		-und 4 Gitterpunktspalten und damit 11*4=44 Gitterpunkte innerhalb des
64		-Rechtecks.
65		-Innerhalb des Dreiecks sind es dann nur die Hälfte, also 22 Gitterpunkte.
66		-
67		-
68		-**Verallgemeinerung:**
69		-Übertragung auf den allgemeinen Fall mit den Seitenlängen a und b (natürlich immer noch
70		-vorausgesetzt es befinden sich keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse):
71		-Man findet innerhalb eines solchen Rechtecks {{formula}}(b – 1){{/formula}} Gitterpunktreihen und {{formula}}(a – 1){{/formula}} Gitterpunktspalten,
72		-also insgesamt {{formula}}(a – 1)\cdot (b – 1){{/formula}} Gitterpunkte.
73		-Innerhalb des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks findet man dann
74		-
75		-{{formula}}I(a,b) = \frac{(a-1)\cdot (b-1)}{2} {{/formula}} Gitterpunkte.
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77		-//Reflexion: //
78		-Überprüfung der beiden Formeln am einfachen Einführungsbeispiel:
79		-{{formula}}R(3,4) = 3 + 4 + 1 = 8{{/formula}}. Das stimmt mit den gezählten Punkten überein.
80		-{{formula}}I(3,4) = \frac{2\cdot 3}{2}= 3{{/formula}}. Das stimmt ebenfalls mit den gezählten Kreuzen überein.
81		-