Änderungen von Dokument Lösung Gitterpunkte

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-Analyse:
	1	+//Analyse: //
2	2
	3	+[[image:Gitterpunkte Dreieck 1.PNG||width="100" style="float: left"]]
3	3	Informative Skizze/n:
	5	+
4	4	So könnte ein mögliches Dreieck aussehen. Es ist rechtwinklig und so platziert, dass
5	5	die Eckpunkte auf Gitterpunkten liegen. Auf der Hypotenuse liegt kein Gitterpunkt.
	8	+
	9	+
	10	+
	11	+
	12	+
	13	+[[image:Gitterpunkte Dreieck 2.PNG||width="100" style="float: left"]]
	14	+Hier sind die Gitterpunkte auf dem Rand des Dreiecks mit Kreisen, die Gitterpunkte im Inneren des Dreiecks mit Kreuzen gekennzeichnet.
	15	+
	16	+
	17	+
	18	+
	19	+
	20	+
	21	+
	22	+//Festlegung der Variablen: //
	23	+{{formula}} R(a,b) {{/formula}} steht für die Anzahl der Randpunkte bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b {{/formula}}.
	24	+{{formula}} I(a,b){{/formula}} steht für die Anzahl Gitterpunkte im Inneren bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b{{/formula}} .
	25	+
	26	+//Durchführung: //
	27	+
	28	+Beispiel: Beim Dreieck oben, sind die Katheten 3 und 4 LE lang, man findet durch Abzählen 8 Gitterpunkte auf dem Rand, also {{formula}} R(3,4) = 8{{/formula}} und 3 Gitterpunkte im Inneren, also {{formula}} I(3,4) = 3{{/formula}}.
	29	+
	30	+Für weitere Überlegungen können weitere Skizzen herangezogen werden, z.B. für {{formula}} a = 5{{/formula}} und {{formula}} b = 12{{/formula}} (müssen aber nicht, die Argumentation lässt sich auch am Eingangsbeispiel nachvollziehen)
	31	+
	32	+**Randpunkte:**
	33	+
	34	+[[image:Gitterpunkte Dreieck 3.PNG||width="140" style="float: left"]]
	35	+
	36	+Auf der Längsseite liegen 13 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 12 LE). Auf
	37	+der Breitseite liegen 6 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 5 LE).
	38	+Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
	39	+Daher sind es insgesamt 13 + 6 – 1 = 18 Punkte.
	40	+Somit ist {{formula}} R(5,12) = 18 {{/formula}}
	41	+
	42	+**Verallgemeinerung:**
	43	+Allgemein erkennt man leicht:
	44	+{{formula}}a + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge {{formula}} a{{/formula}}.
	45	+{{formula}} b + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge {{formula}} b{{/formula}}.
	46	+Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
	47	+Es gilt also allgemein: {{formula}} R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1{{/formula}}
	48	+
	49	+
	50	+
	51	+
	52	+**Punkte im Inneren:**
	53	+Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: {{formula}}I(5,12) = 22{{/formula}}.
	54	+Abzählen ist für den allgemeinen Fall nicht zielführend,hierfür muss ein Schema gefunden werden.
	55	+[[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="140" style="float: left"]]
	56	+Dadurch, dass keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse des Dreiecks liegen,
	57	+lässt sich durch Erweiterung des Dreiecks auf ein Rechteck mit den
	58	+Seitenlängen {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}b{{/formula}} die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren verdoppeln
	59	+(diese Überlegungen lassen sich unabhängig davon anstellen, ob man
	60	+tatsächlich ein Dreieck mit einer gitterpunktfreien Hypotenuse gefunden hat,
	61	+die beiden Katheten dürften hierfür keine gemeinsamen Teiler besitzen).
	62	+Im vorliegenden Beispiel (rechts) erhält man dadurch 11 Gitterpunktreihen
	63	+und 4 Gitterpunktspalten und damit 11*4=44 Gitterpunkte innerhalb des
	64	+Rechtecks.
	65	+Innerhalb des Dreiecks sind es dann nur die Hälfte, also 22 Gitterpunkte.
	66	+