Änderungen von Dokument Lösung Gitterpunkte

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -20,13 +20,12 @@
20	20
21	21
22	22	//Festlegung der Variablen: //
23		-{{formula}} R(a,b) {{/formula}} steht für die Anzahl der Randpunkte bei Kathetenlängen {{formula}} a{{/formula}} und {{formula}} b {{/formula}}.
	23	+{{formula}} R(a,b) {{/formula}} steht für die Anzahl der Randpunkte bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b {{/formula}}.
24	24	{{formula}} I(a,b){{/formula}} steht für die Anzahl Gitterpunkte im Inneren bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b{{/formula}} .
25	25
26	26	//Durchführung: //
27	27
28		-Beispiel: Beim Dreieck oben, sind die Katheten 3 und 4 LE lang, man findet durch Abzählen 8
29		-Gitterpunkte auf dem Rand, also {{formula}} R(3,4) = 8{{/formula}} und 3 Gitterpunkte im Inneren, also {{formula}} I(3,4) = 3{{/formula}}.
	28	+Beispiel: Beim Dreieck oben, sind die Katheten 3 und 4 LE lang, man findet durch Abzählen 8 Gitterpunkte auf dem Rand, also {{formula}} R(3,4) = 8{{/formula}} und 3 Gitterpunkte im Inneren, also {{formula}} I(3,4) = 3{{/formula}}.
30	30
31	31	Für weitere Überlegungen können weitere Skizzen herangezogen werden, z.B. für {{formula}} a = 5{{/formula}} und {{formula}} b = 12{{/formula}} (müssen aber nicht, die Argumentation lässt sich auch am Eingangsbeispiel nachvollziehen)
32	32
...	...	@@ -38,19 +38,20 @@
38	38	der Breitseite liegen 6 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 5 LE).
39	39	Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
40	40	Daher sind es insgesamt 13 + 6 – 1 = 18 Punkte.
41		-Somit ist R(5,12) = 18
42		-Verallgemeinerung:
	40	+Somit ist {{formula}} R(5,12) = 18 {{/formula}}
	41	+
	42	+**Verallgemeinerung:**
43	43	Allgemein erkennt man leicht:
44		-a + 1 Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge a.
45		-b + 1 Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge b.
	44	+{{formula}}a + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge {{formula}}\displaystyle a{{/formula}}.
	45	+{{formula}} b + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge {{formula}} b{{/formula}}.
46	46	Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
47		-Es gilt also allgemein: R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1
	47	+Es gilt also allgemein: {{formula}} R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1{{/formula}}
48	48
49	49
50	50
51	51
52	52	Punkte im Inneren:
53		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="120" style="float: right"]]
	53	+[[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="120" style="float: left"]]
54	54	Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: I(5,12) = 22.
55	55	Abzählen ist für den allgemeinen Fall nicht zielführend,hierfür muss ein Schema gefunden werden.
56	56	Dadurch, dass keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse des Dreiecks liegen,