Änderungen von Dokument Lösung Gitterpunkte

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-//Analyse: //
	1	+Analyse:
2	2
3		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 1.PNG||width="100" style="float: left"]]
4	4	Informative Skizze/n:
5		-
6	6	So könnte ein mögliches Dreieck aussehen. Es ist rechtwinklig und so platziert, dass
7	7	die Eckpunkte auf Gitterpunkten liegen. Auf der Hypotenuse liegt kein Gitterpunkt.
8		-
9		-
10		-
11		-
12		-
13		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 2.PNG||width="100" style="float: left"]]
14		-Hier sind die Gitterpunkte auf dem Rand des Dreiecks mit Kreisen, die Gitterpunkte im Inneren des Dreiecks mit Kreuzen gekennzeichnet.
15		-
16		-
17		-
18		-
19		-
20		-
21		-
22		-//Festlegung der Variablen: //
23		-{{formula}} R(a,b) {{/formula}} steht für die Anzahl der Randpunkte bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b {{/formula}}.
24		-{{formula}} I(a,b){{/formula}} steht für die Anzahl Gitterpunkte im Inneren bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b{{/formula}} .
25		-
26		-//Durchführung: //
27		-
28		-Beispiel: Beim Dreieck oben, sind die Katheten {{formula}} 3 {{/formula}} und {{formula}} 4 {{/formula}} LE lang, man findet durch Abzählen {{formula}} 8 {{/formula}} Gitterpunkte auf dem Rand, also {{formula}} R(3,4) = 8{{/formula}} und 3 Gitterpunkte im Inneren, also {{formula}} I(3,4) = 3{{/formula}}.
29		-
30		-Für weitere Überlegungen können weitere Skizzen herangezogen werden, z.B. für {{formula}} a = 5{{/formula}} und {{formula}} b = 12{{/formula}} (müssen aber nicht, die Argumentation lässt sich auch am Eingangsbeispiel nachvollziehen)
31		-
32		-**Randpunkte:**
33		-
34		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 3.PNG||width="120" style="float: left"]]
35		-
36		-Auf der Längsseite liegen 13 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 12 LE). Auf
37		-der Breitseite liegen 6 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 5 LE).
38		-Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
39		-Daher sind es insgesamt 13 + 6 – 1 = 18 Punkte.
40		-Somit ist R(5,12) = 18
41		-Verallgemeinerung:
42		-Allgemein erkennt man leicht:
43		-a + 1 Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge a.
44		-b + 1 Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge b.
45		-Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
46		-Es gilt also allgemein: R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1
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49		-
50		-
51		-Punkte im Inneren:
52		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="120" style="float: right"]]
53		-Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: I(5,12) = 22.
54		-Abzählen ist für den allgemeinen Fall nicht zielführend,hierfür muss ein Schema gefunden werden.
55		-Dadurch, dass keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse des Dreiecks liegen,
56		-lässt sich durch Erweiterung des Dreiecks auf ein Rechteck mit den
57		-Seitenlängen a und b die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren verdoppeln
58		-(diese Überlegungen lassen sich unabhängig davon anstellen, ob man
59		-tatsächlich ein Dreieck mit einer gitterpunktfreien Hypotenuse gefunden hat,
60		-die beiden Katheten dürften hierfür keine gemeinsamen Teiler besitzen).
61		-Im vorliegenden Beispiel (rechts) erhält man dadurch 11 Gitterpunktreihen
62		-und 4 Gitterpunktspalten und damit 11*4=44 Gitterpunkte innerhalb des
63		-Rechtecks.
64		-Innerhalb des Dreiecks sind es dann nur die Hälfte, also 22 Gitterpunkte.
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