Wiki-Quellcode von Lösung Gitterpunkte
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
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7.1 | 1 | //Analyse: // |
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1.1 | 2 | |
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7.1 | 3 | [[image:Gitterpunkte Dreieck 1.PNG||width="100" style="float: left"]] |
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1.1 | 4 | Informative Skizze/n: |
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7.1 | 5 | |
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1.1 | 6 | So könnte ein mögliches Dreieck aussehen. Es ist rechtwinklig und so platziert, dass |
| 7 | die Eckpunkte auf Gitterpunkten liegen. Auf der Hypotenuse liegt kein Gitterpunkt. | ||
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| 13 | [[image:Gitterpunkte Dreieck 2.PNG||width="100" style="float: left"]] | ||
| 14 | Hier sind die Gitterpunkte auf dem Rand des Dreiecks mit Kreisen, die Gitterpunkte im Inneren des Dreiecks mit Kreuzen gekennzeichnet. | ||
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| 22 | //Festlegung der Variablen: // | ||
| 23 | {{formula}} R(a,b) {{/formula}} steht für die Anzahl der Randpunkte bei Kathetenlängen {{formula}} a{{/formula}} und {{formula}} b {{/formula}}. | ||
| 24 | {{formula}} I(a,b){{/formula}} steht für die Anzahl Gitterpunkte im Inneren bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b{{/formula}} . | ||
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| 26 | //Durchführung: // | ||
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| 28 | Beispiel: Beim Dreieck oben, sind die Katheten 3 und 4 LE lang, man findet durch Abzählen 8 | ||
| 29 | Gitterpunkte auf dem Rand, also {{formula}} R(3,4) = 8{{/formula}} und 3 Gitterpunkte im Inneren, also {{formula}} I(3,4) = 3{{/formula}}. | ||
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| 31 | Für weitere Überlegungen können weitere Skizzen herangezogen werden, z.B. für {{formula}} a = 5{{/formula}} und {{formula}} b = 12{{/formula}} (müssen aber nicht, die Argumentation lässt sich auch am Eingangsbeispiel nachvollziehen) | ||
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| 33 | **Randpunkte:** | ||
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| 35 | [[image:Gitterpunkte Dreieck 3.PNG||width="120" style="float: left"]] | ||
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| 37 | Auf der Längsseite liegen 13 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 12 LE). Auf | ||
| 38 | der Breitseite liegen 6 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 5 LE). | ||
| 39 | Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt. | ||
| 40 | Daher sind es insgesamt 13 + 6 – 1 = 18 Punkte. | ||
| 41 | Somit ist R(5,12) = 18 | ||
| 42 | Verallgemeinerung: | ||
| 43 | Allgemein erkennt man leicht: | ||
| 44 | a + 1 Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge a. | ||
| 45 | b + 1 Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge b. | ||
| 46 | Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt. | ||
| 47 | Es gilt also allgemein: R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1 | ||
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| 52 | Punkte im Inneren: | ||
| 53 | [[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="120" style="float: right"]] | ||
| 54 | Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: I(5,12) = 22. | ||
| 55 | Abzählen ist für den allgemeinen Fall nicht zielführend,hierfür muss ein Schema gefunden werden. | ||
| 56 | Dadurch, dass keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse des Dreiecks liegen, | ||
| 57 | lässt sich durch Erweiterung des Dreiecks auf ein Rechteck mit den | ||
| 58 | Seitenlängen a und b die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren verdoppeln | ||
| 59 | (diese Überlegungen lassen sich unabhängig davon anstellen, ob man | ||
| 60 | tatsächlich ein Dreieck mit einer gitterpunktfreien Hypotenuse gefunden hat, | ||
| 61 | die beiden Katheten dürften hierfür keine gemeinsamen Teiler besitzen). | ||
| 62 | Im vorliegenden Beispiel (rechts) erhält man dadurch 11 Gitterpunktreihen | ||
| 63 | und 4 Gitterpunktspalten und damit 11*4=44 Gitterpunkte innerhalb des | ||
| 64 | Rechtecks. | ||
| 65 | Innerhalb des Dreiecks sind es dann nur die Hälfte, also 22 Gitterpunkte. | ||
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