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Lösung Parabel und Gerade

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/22 17:17

f(x)=(x+2)^2-3
a) Bei dem Funktionsgraphen handelt es sich um eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt S(-2|-3).

Ein geeignetes Intervall wäre zum Beispiel -5 \leq x \leq 1  (man könnte auch ein anderes Intervall nehmen doch mit Blick auf Teilaufgabe c) ist es sinnvoll, wenn der Punkt P_2(1|6)  in der Skizze enthalten ist).

Graph(x+2)hoch2-3.png

b) f(-3)=(-3+2)^2-3=-2
    f(1)=(1+2)^2-3=6

c) ParabelmitGerade.png

d) Die Steigung lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreieckes (bzw. über m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}) bestimmen. Dabei eignet es sich, für das Steigungsdreieck die Punkte P_1 und P_2 zu wählen, da diese bekannt sind und so kein Fehler beim Ablesen entstehen kann:

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6+2}{1+3}=\frac{8}{4}=2

Einsetzen von m=2 und P_2(1|6) in y=mx+b:

\begin{align} 6 &= 2\cdot 1+b \quad \mid -2 \\ 4 &= b \end{align}

Somit lautet die Gleichung der Geraden
g: y=2x+4 \quad (g(x)=2x+4)

e)

\begin{align} 2x+4 &> 0 \quad \mid -4 \\ 2x &> 4 \quad \mid :2 \\ x &> 2 \end{align}

Für x>2  (x \in ]2;\infty[) verläuft die Gerade g oberhalb der x-Achse.

f) Da h senkrecht auf g steht, gilt für deren Steigungen m_h\cdot m_g =-1. Mit m_g=2 ergibt sich:

\begin{align} m_h\cdot m_g &=-1 \\ m_h\cdot 2 &= -1 \quad \mid :2\\ m_h &= -\frac{1}{2} \end{align}

Somit lautet die Geradengleichung h(x)=-\frac{1}{2}x+b. Da h einen gemeinsamen Punkt mit f und g haben soll, setzen wir f und g gleich, um deren Schnittpunkt(e) rauszubekommen, womit sich dann b bestimmen lässt.

\begin{align} f(x) &= g(x) \\ (x+2)^2-3 &= 2x+4\\ x^2+4x+4-3 &= 2x+4 &&\mid -2x-4\\ x^2+2x-3 &= 0 &&\mid \text{MNF (abc-Formel)} \end{align}

\begin{align} x_{1,2}&=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2} \\ x_{1,2}&=\frac{-2\pm 4}{2} \\ x_1&=-3; \ x_2=1 \end{align}

Einsetzen der Lösungen x_1=-3 und x_2=1 in f(x) oder g(x) liefert die beiden y-Wert y_1=-2 und y_2=6 und somit die Schnittpunkte S_1(-3|-2) und S_2(1|6).

Durch Einsetzen der Schnittpunkte in h(x)=-\frac{1}{2}x+b lässt sich nun b bestimmen:

\begin{align} -2&=-\frac{1}{2}\cdot (-3)+b_1 \quad \mid -\frac{3}{2} \\ -\frac{7}{2}&=b_1 \end{align}

Somit ist h_1(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}. Ebenso berechnet sich mit S_2(1|6):

\begin{align} 6&=-\frac{1}{2}\cdot 1+b_2 \quad \mid +\frac{1}{2} \\ \frac{13}{2}&=b_2 \end{align}

h_2(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}.

Hinweis: Da in der Aufgabenstellung nur nach dem Funktionsterm einer Geraden gefragt war, reicht es, wenn man einer der beiden Geraden bestimmt.