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Lösung Parabel und Gerade

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/22 16:17

\(f(x)=(x+2)^2-3\)
a) Bei dem Funktionsgraphen handelt es sich um eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt \(S(-2|-3)\).

Ein geeignetes Intervall wäre zum Beispiel \(-5 \leq x \leq 1 \) (man könnte auch ein anderes Intervall nehmen doch mit Blick auf Teilaufgabe c) ist es sinnvoll, wenn der Punkt \(P_2(1|6) \) in der Skizze enthalten ist).

Graph(x+2)hoch2-3.png

b) \(f(-3)=(-3+2)^2-3=-2\)
    \(f(1)=(1+2)^2-3=6\)

c) ParabelmitGerade.png

d) Die Steigung lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreieckes (bzw. über \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)) bestimmen. Dabei eignet es sich, für das Steigungsdreieck die Punkte \(P_1\) und \(P_2\) zu wählen, da diese bekannt sind und so kein Fehler beim Ablesen entstehen kann:

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6+2}{1+3}=\frac{8}{4}=2\]

Einsetzen von \(m=2\) und \(P_2(1|6)\) in \(y=mx+b\):

\[\begin{align} 6 &= 2\cdot 1+b \quad \mid -2 \\ 4 &= b \end{align}\]

Somit lautet die Gleichung der Geraden
\(g: y=2x+4 \quad (g(x)=2x+4)\)

e)

\[\begin{align} 2x+4 &> 0 \quad \mid -4 \\ 2x &> 4 \quad \mid :2 \\ x &> 2 \end{align}\]

Für \(x>2\)  (\(x \in ]2;\infty[\)) verläuft die Gerade \(g\) oberhalb der x-Achse.

f) Da \(h\) senkrecht auf \(g\) steht, gilt für deren Steigungen \(m_h\cdot m_g =-1\). Mit \(m_g=2\) ergibt sich:

\[\begin{align} m_h\cdot m_g &=-1 \\ m_h\cdot 2 &= -1 \quad \mid :2\\ m_h &= -\frac{1}{2} \end{align}\]

Somit lautet die Geradengleichung \(h(x)=-\frac{1}{2}x+b\). Da \(h\) einen gemeinsamen Punkt mit \(f\) und \(g\) haben soll, setzen wir \(f\) und \(g\) gleich, um deren Schnittpunkt(e) rauszubekommen, womit sich dann \(b\) bestimmen lässt.

\[\begin{align} f(x) &= g(x) \\ (x+2)^2-3 &= 2x+4\\ x^2+4x+4-3 &= 2x+4 &&\mid -2x-4\\ x^2+2x-3 &= 0 &&\mid \text{MNF (abc-Formel)} \end{align}\]
\[\begin{align} x_{1,2}&=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2} \\ x_{1,2}&=\frac{-2\pm 4}{2} \\ x_1&=-3; \ x_2=1 \end{align}\]

Einsetzen der Lösungen \(x_1=-3\) und \(x_2=1\) in \(f(x)\) oder \(g(x)\) liefert die beiden y-Wert \(y_1=-2\) und \(y_2=6\) und somit die Schnittpunkte \(S_1(-3|-2)\) und \(S_2(1|6)\).

Durch Einsetzen der Schnittpunkte in \(h(x)=-\frac{1}{2}x+b\) lässt sich nun \(b\) bestimmen:

\[\begin{align} -2&=-\frac{1}{2}\cdot (-3)+b_1 \quad \mid -\frac{3}{2} \\ -\frac{7}{2}&=b_1 \end{align}\]

Somit ist \(h_1(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}\). Ebenso berechnet sich mit \(S_2(1|6)\):

\[\begin{align} 6&=-\frac{1}{2}\cdot 1+b_2 \quad \mid +\frac{1}{2} \\ \frac{13}{2}&=b_2 \end{align}\]

\(h_2(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}\).

Hinweis: Da in der Aufgabenstellung nur nach dem Funktionsterm einer Geraden gefragt war, reicht es, wenn man einer der beiden Geraden bestimmt.