Zum Inhalt springen

Änderungen von Dokument Lösung Parabel und Gerade

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/22 17:17
Von Version 9.1
bearbeitet von akukin
am 2024/12/22 17:16
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 4.1
bearbeitet von akukin
am 2024/12/19 00:31
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,95 +1,8 @@
1 1  {{formula}}f(x)=(x+2)^2-3{{/formula}}
2 2  a) Bei dem Funktionsgraphen handelt es sich um eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt {{formula}}S(-2|-3){{/formula}}.
3 3  
4 -Ein geeignetes Intervall wäre zum Beispiel {{formula}}-5 \leq x \leq 1 {{/formula}} (man könnte auch ein anderes Intervall nehmen doch mit Blick auf Teilaufgabe c) ist es sinnvoll, wenn der Punkt {{formula}}P_2(1|6) {{/formula}} in der Skizze enthalten ist).
4 +Ein geeignetes Intervall wäre zum Beispiel {{formula}}-5 \leq x \leq 1 {{/formula}} (man könnte auch ein anderes Intervall nehmen doch mit Blick auf Teilaufgabe c) ist es Sinnvoll, wenn der Punkt {{formula}}P_2(1|6) {{/formula}} in der Skizze enthalten ist).
5 5  
6 -[[image:Graph(x+2)hoch2-3.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
7 7  
8 -b) {{formula}}f(-3)=(-3+2)^2-3=-2{{/formula}}
9 - {{formula}}f(1)=(1+2)^2-3=6{{/formula}}
7 +[[image:Graph(x+2)hoch2-3.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
10 10  
11 -c) [[image:ParabelmitGerade.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
12 -
13 -d) Die Steigung lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreieckes (bzw. über {{formula}}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{{/formula}}) bestimmen. Dabei eignet es sich, für das Steigungsdreieck die Punkte {{formula}}P_1{{/formula}} und {{formula}}P_2{{/formula}} zu wählen, da diese bekannt sind und so kein Fehler beim Ablesen entstehen kann:
14 -
15 -{{formula}}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6+2}{1+3}=\frac{8}{4}=2{{/formula}}
16 -
17 -Einsetzen von {{formula}}m=2{{/formula}} und {{formula}}P_2(1|6){{/formula}} in {{formula}}y=mx+b{{/formula}}:
18 -
19 -{{formula}}
20 -\begin{align}
21 -6 &= 2\cdot 1+b \quad \mid -2 \\
22 -4 &= b
23 -\end{align}
24 -{{/formula}}
25 -
26 -Somit lautet die Gleichung der Geraden
27 -{{formula}}g: y=2x+4 \quad (g(x)=2x+4){{/formula}}
28 -
29 -e)
30 -
31 -{{formula}}
32 -\begin{align}
33 -2x+4 &> 0 \quad \mid -4 \\
34 -2x &> 4 \quad \mid :2 \\
35 -x &> 2
36 -\end{align}
37 -{{/formula}}
38 -
39 -Für {{formula}}x>2{{/formula}} ({{formula}}x \in ]2;\infty[{{/formula}}) verläuft die Gerade {{formula}}g{{/formula}} oberhalb der x-Achse.
40 -
41 -f) Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht auf {{formula}}g{{/formula}} steht, gilt für deren Steigungen {{formula}}m_h\cdot m_g =-1{{/formula}}. Mit {{formula}}m_g=2{{/formula}} ergibt sich:
42 -
43 -{{formula}}
44 -\begin{align}
45 -m_h\cdot m_g &=-1 \\
46 -m_h\cdot 2 &= -1 \quad \mid :2\\
47 -m_h &= -\frac{1}{2}
48 -\end{align}
49 -{{/formula}}
50 -
51 -Somit lautet die Geradengleichung {{formula}}h(x)=-\frac{1}{2}x+b{{/formula}}. Da {{formula}}h{{/formula}} einen gemeinsamen Punkt mit {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} haben soll, setzen wir {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} gleich, um deren Schnittpunkt(e) rauszubekommen, womit sich dann {{formula}}b{{/formula}} bestimmen lässt.
52 -
53 -
54 -{{formula}}
55 -\begin{align}
56 -f(x) &= g(x) \\
57 -(x+2)^2-3 &= 2x+4\\
58 -x^2+4x+4-3 &= 2x+4 &&\mid -2x-4\\
59 -x^2+2x-3 &= 0 &&\mid \text{MNF (abc-Formel)}
60 -\end{align}
61 -{{/formula}}
62 -
63 -{{formula}}
64 -\begin{align}
65 -x_{1,2}&=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2} \\
66 -x_{1,2}&=\frac{-2\pm 4}{2} \\
67 -x_1&=-3; \ x_2=1
68 -\end{align}
69 -{{/formula}}
70 -
71 -Einsetzen der Lösungen {{formula}}x_1=-3{{/formula}} und {{formula}}x_2=1{{/formula}} in {{formula}}f(x){{/formula}} oder {{formula}}g(x){{/formula}} liefert die beiden y-Wert {{formula}}y_1=-2{{/formula}} und {{formula}}y_2=6{{/formula}} und somit die Schnittpunkte {{formula}}S_1(-3|-2){{/formula}} und {{formula}}S_2(1|6){{/formula}}.
72 -
73 -Durch Einsetzen der Schnittpunkte in {{formula}}h(x)=-\frac{1}{2}x+b{{/formula}} lässt sich nun {{formula}}b{{/formula}} bestimmen:
74 -
75 -{{formula}}
76 -\begin{align}
77 --2&=-\frac{1}{2}\cdot (-3)+b_1 \quad \mid -\frac{3}{2} \\
78 --\frac{7}{2}&=b_1
79 -\end{align}
80 -{{/formula}}
81 -
82 -Somit ist {{formula}}h_1(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}{{/formula}}. Ebenso berechnet sich mit {{formula}}S_2(1|6){{/formula}}:
83 -
84 -{{formula}}
85 -\begin{align}
86 -6&=-\frac{1}{2}\cdot 1+b_2 \quad \mid +\frac{1}{2} \\
87 -\frac{13}{2}&=b_2
88 -\end{align}
89 -{{/formula}}
90 -
91 -{{formula}}h_2(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}{{/formula}}.
92 -
93 -
94 -//Hinweis:// Da in der Aufgabenstellung nur nach dem Funktionsterm einer Geraden gefragt war, reicht es, wenn man einer der beiden Geraden bestimmt.
95 -
Graph(x 2)hoch2-3.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -72.2 KB
Inhalt
ParabelmitGerade.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -81.6 KB
Inhalt