Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/27 21:02
Von Version 10.1
bearbeitet von akukin
am 2023/11/27 20:16
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 18.1
bearbeitet von akukin
am 2023/11/27 20:47
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,8 +21,9 @@
21 21  
22 22  
23 23  //Durchführung: //
24 -1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
25 25  
25 +**1. mögliche Strategie:** Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
26 +
26 26  [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
27 27  Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
28 28  Diagonalen wegführen.
... ... @@ -40,20 +40,80 @@
40 40  
41 41  
42 42  
43 -Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck:
44 -[[image:5-Eckund9-Eck2.PNG ||width="250" style="float: left"]]
45 -Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen
46 -von einer Ecke wegführen? Da nur die
47 -Verbindungsstrecke zweier nicht
48 -benachbarter Punkte Diagonale genannt
49 -wird, kommen bei n Ecken, die betreffende
50 -Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken
51 -nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (n
52 -– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden
53 -werden. Rechnet man 𝑛 ∙ (𝑛 − 3), so
54 -berücksichtigt man wiederum alle
55 -Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel
56 -muss also 𝑛∙(𝑛−3)
57 -2
58 -lauten.
59 59  
45 +Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck:
46 +[[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]]
47 +Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen?
48 +
49 +Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann
50 +nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden.
51 +
52 +
53 +Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle
54 +Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.
55 +
56 +
57 +
58 +
59 +
60 +
61 +
62 +//Reflexion/Kontrolle: //
63 +Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9:
64 +{{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt,
65 +{{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt.
66 +
67 +Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen.
68 +
69 +**2. mögliche Strategie:** An einer Ecke beginnen zu zählen, an den weiteren Ecken nur noch die noch nicht berücksichtigten Ecken zählen
70 +
71 +**5-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
72 +[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
73 +
74 +2 rote Diagonalen + 2 lila Diagonalen + 1 orange Diagonale = 5 Diagonalen insgesamt
75 +
76 +
77 +
78 +
79 +
80 +9-Eck: links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
81 +
82 +[[image:9-Eck2.PNG||width="140" style="float: left"]]
83 +
84 +6 rote Diagonalen + 6 lila Diagonalen + 5 orange
85 +Diagonalen + 4 grasgrüne Diagonalen + 3 rosa Diagonalen
86 ++ 2 gelbe Diagonalen + 1 hellgrüne Diagonale = 27
87 +Diagonalen insgesamt
88 +
89 +
90 +
91 +Verallgemeinerung **//n//-Eck**: an einer beliebigen Ecke beginnend:
92 +(n–3) Diagonalen gehen von der 1. Ecke ab.
93 +(n–3) weitere Diagonalen gehen auch von der Ecke daneben, der 2. ab.
94 +(n–4) weitere Diagonalen gehen von der 3. Ecke ab.
95 +(n–5) weitere Diagonalen gehen von der 4. Ecke ab.
96 +...
97 +2 weitere Diagonalen gehen von der 4.letzten Ecke ab.
98 +1 weitere Diagonale geht von der 3.letzten Ecke ab.
99 +Alle Diagonalen, die von der vorletzten und der letzten Ecke abgehen, wurden bereits berücksichtig.
100 +
101 +Im //n//-Eck gibt es also 1 + 2 + 3 + ... + (n – 4) + 2⋅(n – 3) Diagonalen.
102 +
103 +{{lehrende}}
104 +//Anmerkung: //
105 +Hier kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler*innen aus dieser Darstellung zur
106 +allgemeinen Formel kommen (nicht im Lehrplan)
107 +{{formula}}
108 +\begin{align}
109 +&1+2+3+ \dots + (n-4) + 2 \cdot (n-3) = \\
110 +&(1+2+3+ \dots + (n-4) + (n-3)) + (n-3) = \\
111 +&\frac{(n-3)(n-2)}{2}+\frac{2(n-3)}{2} =\\
112 +&\frac{(n-3)((n-2)+2)}{2} =\\
113 +& \frac{(n-3)\cdot n}{2}
114 +\end{align}
115 +{{/formula}}
116 +{{/lehrende}}
117 +
118 +//Reflexion/Kontrolle: //
119 +Die Formel ist korrekt für 5-Eck und 9-Eck (siehe oben). Für das 6 Eck gib es demnach 1 + 2 + 3 + 3 =
120 +9 Diagonalen. Dies lässt sich einfach durch Abzählen verifizieren.
9-EckKontrolle.PNG
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -679.0 KB
Inhalt
9-Eck2.PNG
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +679.0 KB
Inhalt