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Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/27 21:02
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,30 +1,17 @@
1 -//Analyse: //
1 +Analyse:
2 +Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt
3 +werden.
2 2  
3 -Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden.
4 4  
5 -[[image:5-Eckund9-Eck.PNG||width="250" style="float: left"]]
6 6  In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen
7 7  sich 5 Diagonalen zählen.
8 -
9 9  In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird
10 10  das Zählen bereits schwierig.
11 -
12 -
13 13  Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl
14 14  der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt.
15 15  
16 -
17 -
18 -
19 -
20 -
21 -
22 -
23 -//Durchführung: //
24 -
25 - __1. mögliche Strategie:__ Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
26 -
27 -[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
13 +Durchführung:
14 +1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
28 28  Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
29 29  Diagonalen wegführen.
30 30  5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede
... ... @@ -32,101 +32,24 @@
32 32  miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5.
33 33  Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein.
34 34  
35 -
36 -[[image:9-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
37 37  Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen
38 38  ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt.
39 39  54 : 2 = 27.
40 40  Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen
41 41  
27 +Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck:
28 +Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen
29 +von einer Ecke wegführen? Da nur die
30 +Verbindungsstrecke zweier nicht
31 +benachbarter Punkte Diagonale genannt
32 +wird, kommen bei n Ecken, die betreffende
33 +Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken
34 +nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (n
35 +– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden
36 +werden. Rechnet man 𝑛 ∙ (𝑛 − 3), so
37 +berücksichtigt man wiederum alle
38 +Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel
39 +muss also 𝑛∙(𝑛−3)
40 +2
41 +lauten.
42 42  
43 -
44 -
45 -Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck:
46 -
47 -[[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]]
48 -Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen?
49 -
50 -Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann
51 -nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden.
52 -
53 -
54 -
55 -Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle
56 -Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.
57 -
58 -
59 -
60 -
61 -
62 -
63 -
64 -//Reflexion/Kontrolle: //
65 -Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9:
66 -{{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt,
67 -{{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt.
68 -
69 -Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen.
70 -
71 -__2. mögliche Strategie:__ An einer Ecke beginnen zu zählen, an den weiteren Ecken nur noch die noch nicht berücksichtigten Ecken zählen
72 -
73 -
74 -**5-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
75 -[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
76 -
77 -2 rote Diagonalen + 2 lila Diagonalen + 1 orange Diagonale
78 -= 5 Diagonalen insgesamt
79 -
80 -
81 -
82 -
83 -
84 -
85 -
86 -
87 -
88 -**9-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
89 -
90 -
91 -[[image:9-Eck2.PNG||width="140" style="float: left"]]
92 -
93 -6 rote Diagonalen + 6 lila Diagonalen + 5 orange
94 -Diagonalen + 4 grasgrüne Diagonalen + 3 rosa Diagonalen
95 -+ 2 gelbe Diagonalen + 1 hellgrüne Diagonale = 27
96 -Diagonalen insgesamt
97 -
98 -
99 -
100 -
101 -
102 -Verallgemeinerung **//n//-Eck**: an einer beliebigen Ecke beginnend:
103 -(n–3) Diagonalen gehen von der 1. Ecke ab.
104 -(n–3) weitere Diagonalen gehen auch von der Ecke daneben, der 2. ab.
105 -(n–4) weitere Diagonalen gehen von der 3. Ecke ab.
106 -(n–5) weitere Diagonalen gehen von der 4. Ecke ab.
107 -...
108 -2 weitere Diagonalen gehen von der 4.letzten Ecke ab.
109 -1 weitere Diagonale geht von der 3.letzten Ecke ab.
110 -Alle Diagonalen, die von der vorletzten und der letzten Ecke abgehen, wurden bereits berücksichtig.
111 -
112 -Im //n//-Eck gibt es also 1 + 2 + 3 + ... + (n – 4) + 2⋅(n – 3) Diagonalen.
113 -
114 -{{lehrende}}
115 -//Anmerkung: //
116 -Hier kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler*innen aus dieser Darstellung zur
117 -allgemeinen Formel kommen (nicht im Lehrplan)
118 -
119 -{{formula}}
120 -\begin{align}
121 -&1+2+3+ \dots + (n-4) + 2 \cdot (n-3) = \\
122 -&(1+2+3+ \dots + (n-4) + (n-3)) + (n-3) = \\
123 -&\frac{(n-3)(n-2)}{2}+\frac{2(n-3)}{2} =\\
124 -&\frac{(n-3)((n-2)+2)}{2} =\\
125 -& \frac{(n-3)\cdot n}{2}
126 -\end{align}
127 -{{/formula}}
128 -{{/lehrende}}
129 -
130 -//Reflexion/Kontrolle: //
131 -Die Formel ist korrekt für 5-Eck und 9-Eck (siehe oben). Für das 6 Eck gib es demnach 1 + 2 + 3 + 3 =
132 -9 Diagonalen. Dies lässt sich einfach durch Abzählen verifizieren.
5-Eckund9-Eck2.PNG
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1 -XWiki.akukin
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9-Eck2.PNG
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n-Eck.PNG
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9-EckKontrolle.PNG
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