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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
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1 -Analyse:
2 -Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt
3 -werden.
1 +//Analyse: //
4 4  
3 +Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden.
5 5  
5 +[[image:5-Eckund9-Eck.PNG||width="250" style="float: left"]]
6 6  In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen
7 7  sich 5 Diagonalen zählen.
8 +
8 8  In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird
9 9  das Zählen bereits schwierig.
11 +
12 +
10 10  Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl
11 11  der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt.
12 12  
13 -Durchführung:
16 +
17 +
18 +
19 +
20 +
21 +
22 +
23 +//Durchführung: //
14 14  1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
25 +
26 +[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
15 15  Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
16 16  Diagonalen wegführen.
17 17  5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede
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19 19  miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5.
20 20  Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein.
21 21  
34 +
35 +[[image:9-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
22 22  Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen
23 23  ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt.
24 24  54 : 2 = 27.
25 25  Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen
26 26  
27 -Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck:
28 -Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen
29 -von einer Ecke wegführen? Da nur die
30 -Verbindungsstrecke zweier nicht
31 -benachbarter Punkte Diagonale genannt
32 -wird, kommen bei n Ecken, die betreffende
33 -Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken
34 -nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (n
35 -– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden
36 -werden. Rechnet man 𝑛 ∙ (𝑛 − 3), so
37 -berücksichtigt man wiederum alle
38 -Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel
39 -muss also 𝑛∙(𝑛−3)
40 -2
41 -lauten.
42 42  
42 +
43 +
44 +Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck:
45 +[[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]]
46 +Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen?
47 +
48 +Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann
49 +nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden.
50 +
51 +Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle
52 +Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.
53 +
54 +//Reflexion/Kontrolle: //
55 +Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9:
56 +{{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt,
57 +{{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt.
58 +
59 +Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen.
60 +
5-Eckund9-Eck2.PNG
Author
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n-Eck.PNG
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