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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,17 +1,29 @@
1 -Analyse:
2 -Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt
3 -werden.
1 +//Analyse: //
4 4  
3 +Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden.
5 5  
5 +[[image:5-Eckund9-Eck.PNG||width="250" style="float: left"]]
6 6  In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen
7 7  sich 5 Diagonalen zählen.
8 +
8 8  In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird
9 9  das Zählen bereits schwierig.
11 +
12 +
10 10  Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl
11 11  der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt.
12 12  
13 -Durchführung:
16 +
17 +
18 +
19 +
20 +
21 +
22 +
23 +//Durchführung: //
14 14  1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
25 +
26 +[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
15 15  Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
16 16  Diagonalen wegführen.
17 17  5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede
... ... @@ -19,24 +19,89 @@
19 19  miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5.
20 20  Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein.
21 21  
34 +
35 +[[image:9-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
22 22  Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen
23 23  ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt.
24 24  54 : 2 = 27.
25 25  Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen
26 26  
27 -Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck:
28 -Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen
29 -von einer Ecke wegführen? Da nur die
30 -Verbindungsstrecke zweier nicht
31 -benachbarter Punkte Diagonale genannt
32 -wird, kommen bei n Ecken, die betreffende
33 -Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken
34 -nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (n
35 -– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden
36 -werden. Rechnet man 𝑛 ∙ (𝑛 − 3), so
37 -berücksichtigt man wiederum alle
38 -Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel
39 -muss also 𝑛∙(𝑛−3)
40 -2
41 -lauten.
42 42  
42 +
43 +
44 +Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck:
45 +[[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]]
46 +Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen?
47 +
48 +Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann
49 +nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden.
50 +
51 +
52 +Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle
53 +Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.
54 +
55 +
56 +
57 +
58 +
59 +
60 +
61 +//Reflexion/Kontrolle: //
62 +Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9:
63 +{{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt,
64 +{{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt.
65 +
66 +Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen.
67 +
68 +2. mögliche Strategie: An einer Ecke beginnen zu zählen, an den weiteren Ecken nur noch die noch nicht berücksichtigten Ecken zählen
69 +
70 +**5-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
71 +[[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
72 +
73 +2 rote Diagonalen + 2 lila Diagonalen + 1 orange Diagonale = 5 Diagonalen insgesamt
74 +
75 +
76 +
77 +
78 +
79 +9-Eck: links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
80 +
81 +[[image:9-Eck2.PNG||width="140" style="float: left"]]
82 +
83 +6 rote Diagonalen + 6 lila Diagonalen + 5 orange
84 +Diagonalen + 4 grasgrüne Diagonalen + 3 rosa Diagonalen
85 ++ 2 gelbe Diagonalen + 1 hellgrüne Diagonale = 27
86 +Diagonalen insgesamt
87 +
88 +
89 +
90 +Verallgemeinerung **//n//-Eck**: an einer beliebigen Ecke beginnend:
91 +(n–3) Diagonalen gehen von der 1. Ecke ab.
92 +(n–3) weitere Diagonalen gehen auch von der Ecke daneben, der 2. ab.
93 +(n–4) weitere Diagonalen gehen von der 3. Ecke ab.
94 +(n–5) weitere Diagonalen gehen von der 4. Ecke ab.
95 +...
96 +2 weitere Diagonalen gehen von der 4.letzten Ecke ab.
97 +1 weitere Diagonale geht von der 3.letzten Ecke ab.
98 +Alle Diagonalen, die von der vorletzten und der letzten Ecke abgehen, wurden bereits berücksichtig.
99 +
100 +Im //n//-Eck gibt es also 1 + 2 + 3 + ... + (n – 4) + 2⋅(n – 3) Diagonalen.
101 +
102 +{{lehrende}}
103 +//Anmerkung: //
104 +Hier kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler*innen aus dieser Darstellung zur
105 +allgemeinen Formel kommen (nicht im Lehrplan)
106 +{{formula}}
107 +\begin{align}
108 +&1+2+3+ \dots + (n-4) + 2 \cdot (n-3) = \\
109 +&(1+2+3+ \dots + (n-4) + (n-3)) + (n-3) = \\
110 +&\frac{(n-3)(n-2)}{2}+\frac{2(n-3)}{2} =\\
111 +&\frac{(n-3)((n-2)+2)}{2} =\\
112 +& \frac{(n-3)\cdot n}{2}
113 +\end{align}
114 +{{/formula}}
115 +{{/lehrende}}
116 +
117 +//Reflexion/Kontrolle: //
118 +Die Formel ist korrekt für 5-Eck und 9-Eck (siehe oben). Für das 6 Eck gib es demnach 1 + 2 + 3 + 3 =
119 +9 Diagonalen. Dies lässt sich einfach durch Abzählen verifizieren.
5-Eckund9-Eck2.PNG
Author
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1 +XWiki.akukin
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9-Eck2.PNG
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n-Eck.PNG
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