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Version 12.1 von akukin am 2023/11/27 20:20
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1 //Analyse: //
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3 Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden.
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5 [[image:5-Eckund9-Eck.PNG||width="250" style="float: left"]]
6 In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen
7 sich 5 Diagonalen zählen.
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9 In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird
10 das Zählen bereits schwierig.
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13 Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl
14 der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt.
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23 //Durchführung: //
24 1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
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26 [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
27 Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
28 Diagonalen wegführen.
29 5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede
30 Diagonale immer doppelt gezählt (sie verbindet ja zwei Punkte
31 miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5.
32 Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein.
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35 [[image:9-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
36 Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen
37 ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt.
38 54 : 2 = 27.
39 Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen
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44 Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck:
45 [[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]]
46 Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen
47 von einer Ecke wegführen? Da nur die
48 Verbindungsstrecke zweier nicht
49 benachbarter Punkte Diagonale genannt
50 wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende
51 Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken
52 nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (//n//– 3)
53 Ecken durch eine Diagonale verbunden
54 werden. Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so
55 berücksichtigt man wiederum alle
56 Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel
57 muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.