Zum Inhalt springen
Version 14.1 von akukin am 2023/11/27 19:23
Zeige letzte Bearbeiter
1 //Analyse: //
2
3 Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden.
4
5 [[image:5-Eckund9-Eck.PNG||width="250" style="float: left"]]
6 In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen
7 sich 5 Diagonalen zählen.
8
9 In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird
10 das Zählen bereits schwierig.
11
12
13 Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl
14 der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt.
15
16
17
18
19
20
21
22
23 //Durchführung: //
24 1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
25
26 [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
27 Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
28 Diagonalen wegführen.
29 5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede
30 Diagonale immer doppelt gezählt (sie verbindet ja zwei Punkte
31 miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5.
32 Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein.
33
34
35 [[image:9-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
36 Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen
37 ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt.
38 54 : 2 = 27.
39 Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen
40
41
42
43
44 Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck:
45 [[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]]
46 Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen?
47
48 Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann
49 nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden.
50
51 Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle
52 Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.
53
54 //Reflexion/Kontrolle: //
55 Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9:
56 {{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt,
57 {{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt.
58
59 Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen.