Zum Inhalt springen
Version 18.1 von akukin am 2023/11/27 20:47
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 7.1 1 //Analyse: //
akukin 1.1 2
akukin 7.1 3 Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden.
akukin 1.1 4
akukin 7.1 5 [[image:5-Eckund9-Eck.PNG||width="250" style="float: left"]]
akukin 1.1 6 In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen
7 sich 5 Diagonalen zählen.
akukin 7.1 8
akukin 1.1 9 In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird
10 das Zählen bereits schwierig.
akukin 7.1 11
12
akukin 1.1 13 Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl
14 der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt.
15
akukin 7.1 16
17
18
19
20
21
22
23 //Durchführung: //
24
akukin 18.1 25 **1. mögliche Strategie:** Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
26
akukin 7.1 27 [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
akukin 1.1 28 Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
29 Diagonalen wegführen.
30 5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede
31 Diagonale immer doppelt gezählt (sie verbindet ja zwei Punkte
32 miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5.
33 Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein.
34
akukin 7.1 35
36 [[image:9-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
akukin 1.1 37 Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen
38 ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt.
39 54 : 2 = 27.
40 Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen
41
akukin 9.1 42
43
akukin 12.1 44
45 Übertragung auf den allgemeinen Fall, das //n//-Eck:
akukin 11.1 46 [[image:5-Eckund9-Eck2.PNG||width="250" style="float: left"]]
akukin 14.1 47 Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen von einer Ecke wegführen?
akukin 1.1 48
akukin 14.1 49 Da nur die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Punkte Diagonale genannt wird, kommen bei //n// Ecken, die betreffende Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann
50 nur mit (//n//– 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden werden.
51
akukin 16.1 52
akukin 14.1 53 Rechnet man {{formula}}n \cdot (n-3) {{/formula}}, so berücksichtigt man wiederum alle
54 Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel muss also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} lauten.
55
akukin 16.1 56
57
58
59
60
61
akukin 14.1 62 //Reflexion/Kontrolle: //
63 Überprüfung für //n// = 5 und //n// = 9:
64 {{formula}}\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = 5 {{/formula}} stimmt,
65 {{formula}}\frac{9 \cdot (9-3)}{2} = 27 {{/formula}} stimmt.
66
67 Ein //n//-Eck besitzt also {{formula}}\frac{n \cdot (n-3)}{2} {{/formula}} Diagonalen.
68
akukin 17.1 69 **2. mögliche Strategie:** An einer Ecke beginnen zu zählen, an den weiteren Ecken nur noch die noch nicht berücksichtigten Ecken zählen
akukin 16.1 70
71 **5-Eck:** links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
72 [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]]
73
74 2 rote Diagonalen + 2 lila Diagonalen + 1 orange Diagonale = 5 Diagonalen insgesamt
75
76
77
78
79
80 9-Eck: links oben mit den roten Diagonalen beginnend:
81
82 [[image:9-Eck2.PNG||width="140" style="float: left"]]
83
84 6 rote Diagonalen + 6 lila Diagonalen + 5 orange
85 Diagonalen + 4 grasgrüne Diagonalen + 3 rosa Diagonalen
86 + 2 gelbe Diagonalen + 1 hellgrüne Diagonale = 27
87 Diagonalen insgesamt
88
89
90
91 Verallgemeinerung **//n//-Eck**: an einer beliebigen Ecke beginnend:
92 (n–3) Diagonalen gehen von der 1. Ecke ab.
93 (n–3) weitere Diagonalen gehen auch von der Ecke daneben, der 2. ab.
94 (n–4) weitere Diagonalen gehen von der 3. Ecke ab.
95 (n–5) weitere Diagonalen gehen von der 4. Ecke ab.
96 ...
97 2 weitere Diagonalen gehen von der 4.letzten Ecke ab.
98 1 weitere Diagonale geht von der 3.letzten Ecke ab.
99 Alle Diagonalen, die von der vorletzten und der letzten Ecke abgehen, wurden bereits berücksichtig.
100
101 Im //n//-Eck gibt es also 1 + 2 + 3 + ... + (n – 4) + 2⋅(n – 3) Diagonalen.
102
103 {{lehrende}}
104 //Anmerkung: //
105 Hier kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler*innen aus dieser Darstellung zur
106 allgemeinen Formel kommen (nicht im Lehrplan)
107 {{formula}}
108 \begin{align}
109 &1+2+3+ \dots + (n-4) + 2 \cdot (n-3) = \\
110 &(1+2+3+ \dots + (n-4) + (n-3)) + (n-3) = \\
111 &\frac{(n-3)(n-2)}{2}+\frac{2(n-3)}{2} =\\
112 &\frac{(n-3)((n-2)+2)}{2} =\\
113 & \frac{(n-3)\cdot n}{2}
114 \end{align}
115 {{/formula}}
116 {{/lehrende}}
117
118 //Reflexion/Kontrolle: //
119 Die Formel ist korrekt für 5-Eck und 9-Eck (siehe oben). Für das 6 Eck gib es demnach 1 + 2 + 3 + 3 =
120 9 Diagonalen. Dies lässt sich einfach durch Abzählen verifizieren.