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Version 2.1 von akukin am 2023/11/27 20:11
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1 Analyse:
2 Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt
3 werden.
4
5
6 In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen
7 sich 5 Diagonalen zählen.
8 In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird
9 das Zählen bereits schwierig.
10 Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl
11 der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt.
12
13 Durchführung:
14 1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen.
15 Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2
16 Diagonalen wegführen.
17 5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede
18 Diagonale immer doppelt gezählt (sie verbindet ja zwei Punkte
19 miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5.
20 Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein.
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22 Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen
23 ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt.
24 54 : 2 = 27.
25 Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen
26
27 Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck:
28 Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen
29 von einer Ecke wegführen? Da nur die
30 Verbindungsstrecke zweier nicht
31 benachbarter Punkte Diagonale genannt
32 wird, kommen bei n Ecken, die betreffende
33 Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken
34 nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (n
35 – 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden
36 werden. Rechnet man 𝑛 ∙ (𝑛 − 3), so
37 berücksichtigt man wiederum alle
38 Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel
39 muss also 𝑛∙(𝑛−3)
40 2
41 lauten.