Wiki-Quellcode von Lösung Verbindungsstrecken von Eckpunkten
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| 1 | //Analyse: // | ||
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| 3 | Das eigene Formulieren der Aufgabenstellung kann hier in Form einer informativen Zeichnung erledigt werden. | ||
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| 5 | [[image:5-Eckund9-Eck.PNG||width="250" style="float: left"]] | ||
| 6 | In der ersten Beispielskizze sieht man ein 5-Eck. Hier lassen | ||
| 7 | sich 5 Diagonalen zählen. | ||
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| 9 | In der zweiten Beispielskizze sieht man ein 9-Eck. Hier wird | ||
| 10 | das Zählen bereits schwierig. | ||
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| 13 | Ziel ist es eine Formel zu erhalten, mit der sich die Anzahl | ||
| 14 | der Diagonalen für beliebige n-Ecke berechnen lässt. | ||
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| 23 | //Durchführung: // | ||
| 24 | 1. mögliche Strategie: Zählen, wie viele Diagonalen von jedem einzelnen Eckpunkt aus wegführen. | ||
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| 26 | [[image:5-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]] | ||
| 27 | Im ersten Beispiel sieht man, dass von jeder Ecke des 5-Ecks aus 2 | ||
| 28 | Diagonalen wegführen. | ||
| 29 | 5 mal 2 Diagonalen würden 10 Diagonalen ergeben, dabei wird aber jede | ||
| 30 | Diagonale immer doppelt gezählt (sie verbindet ja zwei Punkte | ||
| 31 | miteinander), daher muss man das Produkt noch durch 2 teilen: 10 : 2 = 5. | ||
| 32 | Dies stimmt mit den gezählten Diagonalen überein. | ||
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| 35 | [[image:9-Eck.PNG||width="140" style="float: left"]] | ||
| 36 | Im 9-Eck führen von jeder Ecke aus 6 Diagonalen weg. 9 mal 6 Diagonalen | ||
| 37 | ergeben 54 Diagonalen. Hier wurden wieder alle Diagonalen doppelt gezählt. | ||
| 38 | 54 : 2 = 27. | ||
| 39 | Das 9-Eck besitzt 27 Diagonalen | ||
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| 43 | Übertragung auf den allgemeinen Fall, das n-Eck: | ||
| 44 | [[image:5-Eckund9-Eck2.PNG ||width="250" style="float: left"]] | ||
| 45 | Wie kommt man darauf, wie viele Diagonalen | ||
| 46 | von einer Ecke wegführen? Da nur die | ||
| 47 | Verbindungsstrecke zweier nicht | ||
| 48 | benachbarter Punkte Diagonale genannt | ||
| 49 | wird, kommen bei n Ecken, die betreffende | ||
| 50 | Ecke selbst, sowie die zwei Nachbarecken | ||
| 51 | nicht in Frage, d.h. jede Ecke kann nur mit (n | ||
| 52 | – 3) Ecken durch eine Diagonale verbunden | ||
| 53 | werden. Rechnet man 𝑛 ∙ (𝑛 − 3), so | ||
| 54 | berücksichtigt man wiederum alle | ||
| 55 | Diagonalen doppelt, die gesuchte Formel | ||
| 56 | muss also 𝑛∙(𝑛−3) | ||
| 57 | 2 | ||
| 58 | lauten. |