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Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,5 +1,93 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 +{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4 +(% class="abc" %)
5 +1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6 +(% class="border slim" %)
7 +| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8 +|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9 +| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
10 +
11 +)))
12 +1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
13 +1. (((//Lage//.
14 +i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15 +ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16 +iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
17 +)))
18 +1. (((//Kovariation//.
19 +i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
20 +ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21 +)))
22 +)))
23 +{{/aufgabe}}
24 +
25 +{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
26 +In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27 +(% class="border slim" %)
28 +|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
29 +|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30 +|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31 +|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32 +
33 +Die //Normalparabel// ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion ({{formula}}y=x^2{{/formula}}). Ihre //Transformationen// (vgl. Merkhilfe, S. 4) liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in //Scheitelform//. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige //Hauptform//, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur //Produktform// ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
34 +
35 +//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
36 +(% class="border slim" %)
37 +|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
38 +
39 +//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
40 +(% class="border slim" %)
41 +|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
42 +
43 +//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
44 +
45 +(% class="abc" %)
46 +1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//.
47 +1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
48 +1. {{formula}}y=x^2-14x+22{{/formula}}
49 +1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
50 +1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
51 +1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
52 +1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
53 +
54 +)))
55 +1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
56 +//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
57 +1. (((Begründe, dass gilt:
58 +i. {{formula}}x_S=\frac{p}{2}{{/formula}}
59 +ii. {{formula}}x_S=\frac{b}{2a}{{/formula}}
60 +iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}
61 +iv. {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
62 +)))
63 +1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
64 +{{/aufgabe}}
65 +
66 +{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
67 +IN PROGRESS
68 +In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
69 +(% class="border slim" %)
70 +|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
71 +|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
72 +|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
73 +|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
74 +
75 +(% class="abc" %)
76 +1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
77 +1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
78 +1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
79 +1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
80 +
81 +)))
82 +1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
83 +1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
84 +1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
85 +
86 +)))
87 +1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
88 +{{/aufgabe}}
89 +
90 +
3 3  {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
4 4  Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
5 5  
... ... @@ -66,14 +66,14 @@
66 66  Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
67 67  Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
68 68  
69 -Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
157 +Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
70 70  [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
71 71  
72 72  (% class="abc" %)
73 -1. Löse die Gleichungen jeweils nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm //x(y)// in //y//.
74 -1. Führe in den in a) berechneten Termen //x(y))// den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
75 -1. Die in a) berechneten Terme //x(y)// sind insbesondere in Monotonieintervallen von {{formula}}f{{/formula}} Funktionsterme von Umkehrfunktionen {{formula}}f^{-1}{{/formula}}. Untersuche die Ausdrücke {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
76 -1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen //f// (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
161 +1. Löse die Gleichungen jeweils nach {{formula}}x{{/formula}} auf; du erhältst damit für {{formula}}x{{/formula}} einen Funktionsterm {{formula}}x(y){{/formula}} in {{formula}}y{{/formula}}.
162 +1. Führe in den in a) berechneten Termen {{formula}}x(y){{/formula}} den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
163 +1. Die in a) berechneten Terme {{formula}}x(y){{/formula}} sind insbesondere in Monotonieintervallen von {{formula}}f{{/formula}} Funktionsterme von Umkehrfunktionen {{formula}}f^{-1}{{/formula}}. Untersuche die Ausdrücke {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für {{formula}}y{{/formula}} einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
164 +1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen {{formula}}f{{/formula}} (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
77 77  {{/aufgabe}}
78 78  
79 79  {{matrix/}}
Po-ShenLoh_Quadratic.png
Author
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1 +XWiki.martinrathgeb
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Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png
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