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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,34 +1,7 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Darstellungswechsel nach Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
4		-Die Normalparabel ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion. Transformationen (vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in Scheitelform. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige Hauptform, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur Produktform ist schwieriger.
5		-
6		-//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
7		-(% class="border slim" %)
8		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
9		-
10		-//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
11		-(% class="border slim" %)
12		-|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
13		-
14		-//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
15		-
	3	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
16	16	(% class="abc" %)
17		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
18		-1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
19		-1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
20		-1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
21		-1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
22		-1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
23		-1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
24		-
25		-)))
26		-1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
27		-//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
28		-{{/aufgabe}}
29		-
30		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
31		-(% class="abc" %)
32	32	1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
33	33	(% class="border slim" %)
34	34	| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
...	...	@@ -49,31 +49,45 @@
49	49	)))
50	50	{{/aufgabe}}
51	51
52		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
53		-IN PROGRESS
	25	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
54	54	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
55		-(% class="border slim" %)
56		-|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	27	+(% class="border" %)
57	57	|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
	29	+|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
58	58	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
59	59	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
60	60
61	61	(% class="abc" %)
62		-1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
63		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
64		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
65		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
	34	+1. //Formen untersuchen//. Bestimme für jede Gleichungsform, welche charakteristischen Größen der Parabel sich direkt ablesen lassen; siehe hierzu das vorausgegangene Arithmagon.
	35	+1. //Formeln entdecken//. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Zusammenhänge; instruktiv ist der //Koeffizientenvergleich// mit der "Gestreckten Normalform".
	36	+1. (((//Formeln begründen//. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S}{a}{{/formula}} verwendet wurde.
	37	+1. Welche Beziehungen lassen sich anhand der Gleichungsformen schnell begründen?
	38	+1. Welche Zusammenhänge zwischen Beziehungen lassen sich schnell begründen?
66	66
67	67	)))
68		-1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
69		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
70		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
71		-
72		-)))
73		-1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
	41	+(% class="border" %)
	42	+|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
	43	+|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
	44	+|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
	45	+|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
	46	+|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
	47	+|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
	48	+|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
	49	+1. //Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
	50	+(% class="border" %)
	51	+|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
	52	+|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
	53	+|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
	54	+|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
	55	+|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
	56	+|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
	57	+|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
	58	+|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
	59	+|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
	60	+|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
	61	+1. //Formeln begründen//. Zeige die Beziehungen zwischen den Parametern; vgl. obige Tabelle.
74	74	{{/aufgabe}}
75	75
76		-
77	77	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
78	78	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
79	79