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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,7 +1,34 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	3	+{{aufgabe id="Darstellungswechsel nach Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
	4	+Die Normalparabel ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion. Transformationen (vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in Scheitelform. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige Hauptform, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0)), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2)). Der Darstellungswechsel zur Produktform ist schwieriger.
	5	+
	6	+//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
	7	+(% class="border slim" %)
	8	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
	9	+
	10	+//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
	11	+(% class="border slim" %)
	12	+|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
	13	+
	14	+//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
	15	+
4	4	(% class="abc" %)
	17	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
	18	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	19	+1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
	20	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	21	+1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
	22	+1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
	23	+1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
	24	+
	25	+)))
	26	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	27	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	28	+{{/aufgabe}}
	29	+
	30	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	31	+(% class="abc" %)
5	5	1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6	6	(% class="border slim" %)
7	7	| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
...	...	@@ -22,48 +22,31 @@
22	22	)))
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	52	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
	53	+IN PROGRESS
26	26	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27		-(% class="border" %)
28		-|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
	55	+(% class="border slim" %)
29	29	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	57	+|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30	30	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31	31	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32	32
33		-Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei der übersichtlicheren Notation wegen die Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S^*}{a}{{/formula}} verwendet wurde.
34		-
35		-(% class="border" %)
36		-|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
37		-|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
38		-|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
39		-|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
40		-|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
41		-|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
42		-|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
43		-
44	44	(% class="abc" %)
45		-1. Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
46		-(% class="border" %)
47		-|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
48		-|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
49		-|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
50		-|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
51		-|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
52		-|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
53		-|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
54		-|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
55		-|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
56		-|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
57		-1. (((Begründe, dass gilt:
58		-i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
59		-ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
60		-iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
	62	+1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
	63	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
	64	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
	65	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
	66	+
61	61	)))
62		-1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
63		-1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
64		-//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	68	+1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
	69	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
	70	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
	71	+
	72	+)))
	73	+1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
65	65	{{/aufgabe}}
66	66
	76	+
67	67	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
68	68	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
69	69