Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)
• Anhänge (0 geändert, 0 hinzugefügt, 1 gelöscht)
  • Arithmagon Potenzfunktionen Formen.svg

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,74 +1,78 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	3	+{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
	4	+//Verfahren statt Formel// (Teil 1). Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
	5	+(% class="border slim" %)
	6	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
	7	+
	8	+//Verfahren statt Formel// (Teil 2). In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
	9	+(% class="border slim" %)
	10	+|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
	11	+
	12	+//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
	13	+
4	4	(% class="abc" %)
	15	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
	16	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	17	+1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
	18	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	19	+1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
	20	+1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
	21	+1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
	22	+
	23	+)))
	24	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	25	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	26	+{{/aufgabe}}
	27	+
	28	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	29	+IN PROGRESS
	30	+(% class="abc" %)
5	5	1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6		-[[image:Arithmagon Potenzfunktionen Formen.svg||width="500"]]
	32	+(% class="border slim" %)
	33	+| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
	34	+|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
	35	+| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
	36	+
7	7	)))
8	8	1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
9		-1. (((
10		-(% class="border" %)
11		-|**Lage der Geraden** |Abschnitt |Schnitt-, Scheitelpunkt
12		-|y-Achse |{{formula}}b=y_0{{/formula}} |{{formula}}S_y(\qquad|\qquad){{/formula}}
13		-|x-Achse |{{formula}}x_0={{/formula}} |{{formula}}S_x(\qquad|\qquad)=N{{/formula}}
14		-|Symmetrieachse |{{formula}}x={{/formula}} |
15		-|Scheitel |{{formula}}x_S={{/formula}} |{{formula}}S(\qquad|\qquad){{/formula}}
16		-)))
17		-1. (((
18		-(% class="border" %)
19		-|**Kovariation des linearen Zusammenhangs** | Parameterwert bzw. Beschreibung
20		-|Monotonie |
21		-|Steigung an der Stelle {{formula}}m=\hspace{1cm}{{/formula}} |{{formula}}m=\hspace{1cm}{{/formula}}
22		-|Krümmung |{{formula}}a={{/formula}}
23		-)))
24		-)))
25		-
26		-
27		- 1. (((//Lage//.
	39	+1. (((//Lage//.
28	28	i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
29	29	ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
30	30	iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
31	31	)))
	44	+1. (((//Kovariation//.
	45	+i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
	46	+ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
32	32	)))
	48	+)))
33	33	{{/aufgabe}}
34	34
35		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
36		-(((In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
37		-(% class="border" %)
38		-|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
	51	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
	52	+IN PROGRESS
	53	+In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
	54	+(% class="border slim" %)
39	39	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	56	+|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
40	40	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
41	41	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
42		-)))
	59	+
43	43	(% class="abc" %)
44		-1. //Formen untersuchen//. Bestimme für jede Gleichungsform, welche charakteristischen Größen der Parabel sich direkt ablesen lassen; siehe hierzu das vorausgegangene Arithmagon.
45		-1. //Formeln entdecken//. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Zusammenhänge; instruktiv ist der //Koeffizientenvergleich// mit der "Gestreckten Normalform".
46		-1. (((//Formeln untersuchen//. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S}{a}{{/formula}} verwendet wurde. Welche Zusammenhänge zwischen den tabellierten Beziehungen lassen sich schnell erkennen?
47		-(% class="border" %)
48		-|Nr. |Von |Zu |Parameter 1 |Parameter 2
49		-|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S{{/formula}} |{{formula}}q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
50		-|2 |Gestreckte Normalform |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}{{/formula}} |{{formula}}y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
51		-|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}{{/formula}} |{{formula}}x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
52		-|4 |Gestreckte Normalform |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}} |{{formula}}x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
53		-|5 |Produktform |Gestreckte Normalform |{{formula}}p = -(x_1 + x_2){{/formula}} |{{formula}}q = x_1 x_2{{/formula}}
54		-|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}{{/formula}} |{{formula}}y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
	61	+1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
	62	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
	63	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
	64	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
	65	+
55	55	)))
56		-1. (((//Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
57		-(% class="border" %)
58		-|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
59		-|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
60		-|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
61		-|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
62		-|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
63		-|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
64		-|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
65		-|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
66		-|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
67		-|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
	67	+1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
	68	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
	69	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
	70	+
68	68	)))
69		-1. //Formeln begründen//. Zeige einige der oben tabellierten Beziehungen zwischen den Parametern.
	72	+1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
70	70	{{/aufgabe}}
71	71
	75	+
72	72	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
73	73	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
74	74

Arithmagon Potenzfunktionen Formen.svg

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.holgerengels

Größe

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-300.3 KB

Inhalt