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Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
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am 2025/01/12 00:01
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am 2024/12/23 01:28
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,78 +1,9 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
4 -(% class="abc" %)
5 -1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6 -[[image:Arithmagon Potenzfunktionen Formen.svg||width="500"]]
7 -)))
8 -1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
9 -1. (((
10 -(% class="border" %)
11 -|**Lage der Geraden** |Abschnitt |Schnitt-, Scheitelpunkt
12 -|y-Achse |{{formula}}b=y_0{{/formula}} |{{formula}}S_y(\qquad|\qquad){{/formula}}
13 -|x-Achse |{{formula}}x_0={{/formula}} |{{formula}}S_x(\qquad|\qquad)=N{{/formula}}
14 -|Symmetrieachse |{{formula}}x={{/formula}} |
15 -|Scheitel |{{formula}}x_S={{/formula}} |{{formula}}S(\qquad|\qquad){{/formula}}
16 -)))
17 -1. (((
18 -(% class="border" %)
19 -|**Kovariation des quadratischen Zusammenhangs** | Parameterwert bzw. Beschreibung
20 -|Monotonie |
21 -|Steigung an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} |{{formula}}b={{/formula}}
22 -|Krümmung |{{formula}}a={{/formula}}
23 -)))
24 -)))
25 -
26 -
27 - 1. (((//Lage//.
28 -i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
29 -ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
30 -iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
31 -)))
32 -)))
33 -{{/aufgabe}}
34 -
35 -{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
36 -(((In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
37 -(% class="border" %)
38 -|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
39 -|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
40 -|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
41 -|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
42 -)))
43 -(% class="abc" %)
44 -1. //Formen untersuchen//. Bestimme für jede Gleichungsform, welche charakteristischen Größen der Parabel sich direkt ablesen lassen; siehe hierzu das vorausgegangene Arithmagon.
45 -1. //Formeln entdecken//. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Zusammenhänge; instruktiv ist der //Koeffizientenvergleich// mit der "Gestreckten Normalform".
46 -1. (((//Formeln untersuchen//. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S}{a}{{/formula}} verwendet wurde. Welche Zusammenhänge zwischen den tabellierten Beziehungen lassen sich schnell erkennen?
47 -(% class="border" %)
48 -|Nr. |Von |Zu |Parameter 1 |Parameter 2
49 -|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S{{/formula}} |{{formula}}q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
50 -|2 |Gestreckte Normalform |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}{{/formula}} |{{formula}}y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
51 -|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}{{/formula}} |{{formula}}x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
52 -|4 |Gestreckte Normalform |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}} |{{formula}}x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
53 -|5 |Produktform |Gestreckte Normalform |{{formula}}p = -(x_1 + x_2){{/formula}} |{{formula}}q = x_1 x_2{{/formula}}
54 -|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}{{/formula}} |{{formula}}y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
55 -)))
56 -1. (((//Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
57 -(% class="border" %)
58 -|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
59 -|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
60 -|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
61 -|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
62 -|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
63 -|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
64 -|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
65 -|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
66 -|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
67 -|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
68 -)))
69 -1. //Formeln begründen//. Zeige einige der oben tabellierten Beziehungen zwischen den Parametern.
70 -{{/aufgabe}}
71 -
72 72  {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
73 73  Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
74 74  
75 -(% class="abc" %)
6 +(% style="list-style: alphastyle" %)
76 76  1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.
77 77  1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.
78 78  1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
... ... @@ -82,10 +82,10 @@
82 82  {{aufgabe id="Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Stern, Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
83 83  Gegeben sind die Funktionen //f// und //g// mit den Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=\sqrt{-x+1}{{/formula}} und {{formula}} g(x)=-\sqrt{x+5}+3 {{/formula}}.
84 84  
85 -(% class="abc" %)
16 +(% style="list-style: alphastyle" %)
86 86  1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
87 87  1. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall {{formula}}[-6; +2]{{/formula}}.
88 -1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}f(x) = g(x){{/formula}} graphisch.
19 +1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}\sqrt{-x+1} = -\sqrt{x+5}+3{{/formula}} graphisch.
89 89  1. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).
90 90  {{/aufgabe}}
91 91  
... ... @@ -96,7 +96,7 @@
96 96  |=Zeit|2|4|6|8|10|12|
97 97  |=Menge|1,7|1,5|1,2|1,0|1,0|0,8|
98 98  
99 -(% class="abc" %)
30 +(% style="list-style: alphastyle" %)
100 100  1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
101 101  1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.
102 102  {{/aufgabe}}
... ... @@ -108,9 +108,8 @@
108 108  |=Anzahl der Storchenpaare|132|142|166|188|240|250|252
109 109  |=Anzahl der Einwohner|55400|55400|65000|67700|69800|72300|76000
110 110  
111 -(% class="abc" %)
112 -1. Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
113 -1. Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
42 +a) Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
43 +b) Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
114 114  {{/aufgabe}}
115 115  
116 116  {{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -132,17 +132,18 @@
132 132  
133 133  
134 134  {{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
135 -Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
136 -Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
65 +Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.
137 137  
138 -Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
139 -[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
67 +Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel, nämlich die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}}. Um daraus die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man nach //x// auf, d.h.: {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}}.
68 +Vertausche //x// und //y// miteinander um die Gleichung der Umkehrung zu erhalten.
140 140  
70 +Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
71 +[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
141 141  (% class="abc" %)
142 -1. Löse die Gleichungen jeweils nach {{formula}}x{{/formula}} auf; du erhältst damit für {{formula}}x{{/formula}} einen Funktionsterm {{formula}}x(y){{/formula}} in {{formula}}y{{/formula}}.
143 -1. Führe in den in a) berechneten Termen {{formula}}x(y){{/formula}} den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
144 -1. Die in a) berechneten Terme {{formula}}x(y){{/formula}} sind insbesondere in Monotonieintervallen von {{formula}}f{{/formula}} Funktionsterme von Umkehrfunktionen {{formula}}f^{-1}{{/formula}}. Untersuche die Ausdrücke {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für {{formula}}y{{/formula}} einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
145 -1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen {{formula}}f{{/formula}} (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
73 +1. Löse die Gleichung jeweils nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
74 +1. Zeichne die Graphen der Umkehrungen ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
75 +1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}) der Funktionen {{formula}}f{{/formula}}. Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
76 +1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
146 146  {{/aufgabe}}
147 147  
148 148  {{matrix/}}
Arithmagon Potenzfunktionen Formen.svg
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.holgerengels
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -300.3 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.martinrathgeb
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... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -98.4 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png
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1 -XWiki.martinrathgeb
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1 -828.1 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png
Author
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1 -XWiki.martinrathgeb
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1 -612.4 KB
Inhalt