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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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64	64	{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
65	65	Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.
66	66
67		-Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
	67	+Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel, nämlich die Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}. Um die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach //x// auf, d.h.: {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}}.
68	68
69	69	{{formula}}
70	70	\begin{align*}
...	...	@@ -77,37 +77,13 @@
77	77	\end{align*}
78	78	{{/formula}}
79	79
80		-Betrachte die folgenden drei Funktionsgleichungen: {{formula}}f(x)=2x{{/formula}}, {{formula}}f(x)=(x+1)^2{{/formula}} und {{formula}}f(x)=x^3{{/formula}}.
	80	+Betrachte die folgenden drei Funktionsgleichungen mit ihren nachfolgenden Graphen: {{formula}}f(x)=2x{{/formula}}, {{formula}}f(x)=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}f(x)=x^3{{/formula}}.
	81	+[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
81	81	(% class="abc" %)
82		-1. Löse {{formula}}f(x)=y{{/formula}} nach Ersetzung des Funktionswerts //f(x)// durch den jeweiligen Funktionsterm nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
	83	+1. Löse {{formula}}f(x)=y{{/formula}} nach Ersetzung des Funktionswerts {{formula}}f(x){{/formula}} durch den jeweiligen Funktionsterm nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
83	83	1. Zeichne die Paare von Graphen und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
84	84	1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
85	85	1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
86		-[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
87	87	{{/aufgabe}}
88	88
89		-{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden (alt)" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder" zeit="12" cc="BY-SA"}}
90		-Neben der Spiegelung an der x- und y- Achse kann man auch an der ersten Winkelhalbierenden (gegeben durch y=x) einen Funktionsgraphen spiegeln. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
91		-
92		-{{formula}}
93		-\begin{align*}
94		-y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
95		-x=\sqrt{y}\;\;
96		-{{/formula}}
97		-Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
98		-{{formula}}
99		-y=\sqrt{x}
100		-\end{align*}
101		-{{/formula}}
102		-
103		-(% class="abc" %)
104		-1. Bestimme die an der ersten Winkelhabierenden gespiegelten Funktionen {{formula}} f(x)=\frac{1}{x}; g(x)= \frac{1}{x^2} {{/formula}} und {{formula}} h(x)= \frac{2\,x+3}{-4\,x-2}{{/formula}}. Hinweis: {{formula}}x >0{{/formula}}
105		-1. Bestimme graphisch den an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Graphen zu den drei dargestellten Graphen.
106		-1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man auch Umkehrfunktionen (Abkürzung {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ) . Berechne den Funktionsterm {{formula}} f^{-1}(f(x)){{/formula}}. Beschreibe deine Beobachtung. Hinweis: Setze dazu den Term der Funktionsgleichung {{formula}}f(x){{/formula}} in die in a) berechnete Umkehrfunktion {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ein und fasse zusammen.
107		-1. Begründe mit Hilfe deiner Lösungen von a) und b) wieso der Definitionsbereich der Funktion {{formula}} f
108		-{{/formula}} verkleinert werden muss, wenn man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion berechnet.
109		-
110		-[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
111		-{{/aufgabe}}
112		-
113	113	{{matrix/}}