BPE 2 Einheitsübergreifend

1  Weg zur Schule  (20 min) 𝕋  𝕃

Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion \(t\) mit \(t(v)= \frac{d}{v}\) (Geschwindigkeit \(v\) in km/min; Entfernung \(d\) in km; Laufzeit \(t(v)\) in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.

1. Erstelle die Funktion \(t\), die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit \(v\) in km/h beschreibt.
2. Bestimme die Definitionslücke der Funktion \(t\).
3. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
4. Zeichne den Graphen der Funktion \(t\) und markiere die Definitionslücke.

2  Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch  (15 min) 𝕃

Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen \(f(x)=\sqrt{-x+1}\) und \( g(x)=-\sqrt{x+5}+3 \).

1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
2. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall \([-6; +2]\).
3. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung \(\sqrt{-x+1} = -\sqrt{x+5}+3\) graphisch.
4. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).

3  Lineare Regression  (10 min) 𝕃

Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben

1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
2. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.

4  Korrelation  (15 min) 𝕃

Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.

a) Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
b) Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein. 

5  Füllstände  (25 min) 𝕃

Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?

Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.

6  Spiegeln an der Winkelhalbierenden  (12 min) 𝕃

Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung \(y=x\). Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.

Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf \(x> 0\) ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. \( y=x^2\), löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.

\(\begin{align*} y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\ x=\sqrt{y}\;\; \)
Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
\(y=\sqrt{x} \end{align*}\)

Betrachte die folgenden drei Funktionsgleichungen: \(f(x)=2x\), \(f(x)=(x+1)^2\) und \(f(x)=x^3\).

1. Löse \(f(x)=y\) nach Ersetzung des Funktionswerts f durch den jeweiligen Funktionsterm nach x auf; du erhältst damit für x einen Funktionsterm in y.
2. Zeichne die Paare von Graphen und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
3. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen (\(f^{-1}\)). Untersuche jeweils den Ausdruck \(f^{-1}(y)\), in dem du \(f(x)\) für y einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
4. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion f verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
   

7  Spiegeln an der Winkelhalbierenden (alt)  (12 min)

Neben der Spiegelung an der x- und y- Achse kann man auch an der ersten Winkelhalbierenden (gegeben durch y=x) einen Funktionsgraphen spiegeln. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf \(x> 0\) ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. \( y=x^2\), löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.

\(\begin{align*} y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\ x=\sqrt{y}\;\; \)
Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
\(y=\sqrt{x} \end{align*}\)

1. Bestimme die an der ersten Winkelhabierenden gespiegelten Funktionen \( f(x)=\frac{1}{x}; g(x)= \frac{1}{x^2} \) und \( h(x)= \frac{2\,x+3}{-4\,x-2}\). Hinweis: \(x >0\)
2. Bestimme graphisch den an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Graphen zu den drei dargestellten Graphen.
3. Die in a) berechneten Funktionen nennt man auch Umkehrfunktionen (Abkürzung \( f^{-1}\) ) . Berechne den Funktionsterm \( f^{-1}(f(x))\). Beschreibe deine Beobachtung. Hinweis: Setze dazu den Term der Funktionsgleichung \(f(x)\) in die in a) berechnete Umkehrfunktion \( f^{-1}\) ein und fasse zusammen.
4. Begründe mit Hilfe deiner Lösungen von a) und b) wieso der Definitionsbereich der Funktion \( f\) verkleinert werden muss, wenn man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion berechnet.