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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.martinrathgeb
	1	+XWiki.holgerengels

Inhalt

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60	60	{{/lehrende}}
61	61	{{/aufgabe}}
62	62
	63	+{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder" zeit="12" cc="BY-SA"}}
	64	+Neben der Spiegelung an der x- und y- Achse kann man auch an der ersten Winkelhalbierenden (gegeben durch y=x) einen Funktionsgraphen spiegeln. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
63	63
64		-{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
65		-Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.
	66	+{{formula}}
	67	+\begin{align*}
	68	+y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
	69	+x=\sqrt{y}\;\;
	70	+{{/formula}}
	71	+Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
	72	+{{formula}}
	73	+y=\sqrt{x}
	74	+\end{align*}
	75	+{{/formula}}
66	66
67		-Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel, nämlich die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}}. Um daraus die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man nach //x// auf, d.h.: {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}}.
68		-Vertausche //x// und //y// miteinander um die Gleichung der Umkehrung zu erhalten.
	77	+(% class="abc" %)
	78	+1. Bestimme die an der ersten Winkelhabierenden gespiegelten Funktionen {{formula}} f(x)=\frac{1}{x}; g(x)= \frac{1}{x^2} {{/formula}} und {{formula}} h(x)= \frac{2\,x+3}{-4\,x-2}{{/formula}}. Hinweis: {{formula}}x >0{{/formula}}
	79	+1. Bestimme graphisch den an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Graphen zu den drei dargestellten Graphen.
	80	+1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man auch Umkehrfunktionen (Abkürzung {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ) . Berechne den Funktionsterm {{formula}} f^{-1}(f(x)){{/formula}}. Beschreibe deine Beobachtung. Hinweis: Setze dazu den Term der Funktionsgleichung {{formula}}f(x){{/formula}} in die in a) berechnete Umkehrfunktion {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ein und fasse zusammen.
	81	+1. Begründe mit Hilfe deiner Lösungen von a) und b) wieso der Definitionsbereich der Funktion {{formula}} f
	82	+{{/formula}} verkleinert werden muss, wenn man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion berechnet.
69	69
70		-Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
71	71	[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
72		-(% class="abc" %)
73		-1. Löse die Gleichung jeweils nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
74		-1. Zeichne die Graphen der Umkehrungen ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
75		-1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}) der Funktionen {{formula}}f{{/formula}}. Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
76		-1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
77	77	{{/aufgabe}}
78	78
79	79	{{matrix/}}