Änderungen von Dokument Lösung Formen von Parabelgleichungen

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41	41	Umstellen von {{formula}}q=x_S^2+y_S^*{{/formula}} nach {{formula}}y_S{{/formula}} führt zu {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}
42	42
43	43	//Alternativ kommt man mit quadratischer Ergänzung von der gestreckten Normalform zur Scheitelform und kann Zeile 2 so begründen.//
	44	+
	45	+__Zeile 3 (Scheitelform zur Produktform)__:
	46	+Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir die Nullstellen der Scheitelform:
	47	+{{formula}}
	48	+\begin{align*}
	49	+a(x-x_S)^2+y_S=0 \\
	50	+\Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)=0 \\
	51	+\Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*=0 \\
	52	+\Leftrightarrow (x-x_S)^2=-y_S^* \\
	53	+\end{align*}
	54	+{{/formula}}
	55	+
	56	+Durch Wurzelziehen erhalten wir:
	57	+{{formula}}
	58	+\begin{align*}
	59	+x-x_S=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\
	60	+\Leftrightarrow x_{1,2}=x_S\pm \sqrt{-y_S^*}
	61	+\end{align*}
	62	+{{/formula}}
	63	+
	64	+__Zeile 6 (Produktform zur Scheitelform)__:
	65	+Die Nullstellen {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} sind direkt aus der Produkform ablesbar.
	66	+Wir wissen, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen liegen muss. Das heißt der x-Wert des Scheitelpunktes ist gegeben durch {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}.
	67	+Um nun den zugehörigen y-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzen wir {{formula}}x_S{{/formula}} in die Gleichung der Produktform ein:
	68	+{{formula}}y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\frac{x_2-x_1}{2}\cdot\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right){{/formula}}
	69	+Somit ist {{formula}}y_S^*=\frac{y_S}{a}= -\frac{(x_2-x_1)^2}{4}{{/formula}}.
	70	+{{formula}}
44	44	)))