Änderungen von Dokument Lösung Formen von Parabelgleichungen

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -24,14 +24,13 @@
24	24	|8 |{{formula}}y=-\frac{3}{2}(x^2-4x+4){{/formula}}|{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} | {{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}}
25	25	|9 |{{formula}}y=\sqrt{2}(x^2-5x+6){{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{2}}{4}{{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
26	26	)))
27		-1. (((
28		-__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
	27	+1. (((__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
29	29	Umformen der Scheitelform ergibt:
30	30	{{formula}}
31	31	\begin{align*}
32	32	y&=a(x-x_S)^2+y_S \quad \mid \text{2. binomische Formel}\\
33	33	&= a(x^2-2x_Sx+x_S^2)+y_S \\
34		- &=a\left(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a}\right)
	33	+ &=a(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a})
35	35	\end{align*}
36	36	{{/formula}}
37	37
...	...	@@ -42,52 +42,4 @@
42	42	Umstellen von {{formula}}q=x_S^2+y_S^*{{/formula}} nach {{formula}}y_S{{/formula}} führt zu {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}
43	43
44	44	//Alternativ kommt man mit quadratischer Ergänzung von der gestreckten Normalform zur Scheitelform und kann Zeile 2 so begründen.//
45		-
46		-__Zeile 3 (Scheitelform zur Produktform)__:
47		-Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir die Nullstellen der Scheitelform:
48		-{{formula}}
49		-\begin{align*}
50		-a(x-x_S)^2+y_S&=0 \\
51		-\Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)&=0 \\
52		-\Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*&=0 \\
53		-\Leftrightarrow (x-x_S)^2&=-y_S^* \\
54		-\end{align*}
55		-{{/formula}}
56		-
57		-Durch Wurzelziehen erhalten wir:
58		-{{formula}}
59		-\begin{align*}
60		-x-x_S&=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\
61		-\Leftrightarrow x_{1,2}&=x_S\pm \sqrt{-y_S^*}
62		-\end{align*}
63		-{{/formula}}
64		-
65		-__Zeile 4 (Gestreckte Normalform zur Produktform)__:
66		-Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) die Nullstellen der gestreckten Normalform:
67		-{{formula}}
68		-a(x^2+px+q)=0 \\
69		-\Leftrightarrow x^2+px+q=0 \\
70		-\RIghtarrow x_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4\cdot1\cdotq}}{2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}
71		-{{/formula}}
72		-
73		-//Alternativ kann man die Gleichungen aus Zeile 2 ({{formula}}x_S=-\frac{p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}) in die Gleichungen in Zeile 3 ein, um die Gleichungen in Zeile 4 zu erhalten.//
74		-
75		-__Zeile 5 (Produktform zur gestreckten Normalform)__:
76		-Ausmultiplizieren führt zu
77		-{{formula}}
78		-\begin{align*}
79		-y&=a(x-x_1)(x-x_2) \\
80		-&=a (x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2) \\
81		-&=a(x^2+x(-x_2-x_1)+x_1x_2)
82		-\end{align*}
83		-{{/formula}}
84		-
85		-Koeffizientenvergleich liefert {{formula}}p=(-x_2-x_1)=-(x_1+x_2){{/formula}} und {{formula}}q=x_1x_2{{/formula}}.
86		-
87		-__Zeile 6 (Produktform zur Scheitelform)__:
88		-Die Nullstellen {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} sind direkt aus der Produkform ablesbar.
89		-Wir wissen, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen liegen muss. Das heißt der x-Wert des Scheitelpunktes ist gegeben durch {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}.
90		-Um nun den zugehörigen y-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzen wir {{formula}}x_S{{/formula}} in die Gleichung der Produktform ein:
91		-{{formula}}y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right){{/formula}}
92		-Somit ist {{formula}}y_S^*=\frac{y_S}{a}= -\frac{(x_2-x_1)^2}{4}{{/formula}}.
93	93	)))