Lösung Vier Städte
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/02/12 20:55
Zwei Möglichkeiten, die Wege anzulegen, sind diese:
Wobei A ein Sonderfall von B ist, wenn \(x=5\) gewählt wird. Also muss nur B betrachtet werden.Die Gesamtstrecke ergibt sich aus dem Mittelstück plus vier mal die Schräge Verbindung zur Ecke:
\[l(x)=4\sqrt{3^2+x^2} + (10 - 2x)~;~ 0<=x<=5\]Suche nach Minumum:
\[l'(x)=4\frac{x}{\sqrt{x^2+9}} - 2\]\(\begin{align*} l'(x) &= 0 \\ 4\frac{x}{\sqrt{x^2+9}} - 2 &= 0 \\ 2x &= \sqrt{x^2+9} ~~~| \text{^}^2 \\ 4x^2 &= x^2 + 9 \\ x &= \pm\sqrt3 \end{align*}\)
Durch das Quadrieren der Gleichung auf beiden Seiten ist eine zusätzliche Lösungen entstanden, die Wurzelgleichung aber nicht erfüllt:
\(\begin{align*} 2\cdot(-\sqrt3) &= \sqrt{(-\sqrt3)^2+9} \\ -2\cdot\sqrt3 &\neq 2\sqrt3 \\ \end{align*}\)
Also ist lediglich \(x=\sqrt3\) ein Kandidat für das Optimum.