Änderungen von Dokument Lösung Symmetrie nachweisen

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Inhalt

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1		-1) Für die angegebenen Funktionsgleichungen ist jeweils {{formula}}\mathbb{R}^*{{/formula}} der maximale Definitionsbereich.
2		-1) Diese Zahlenmenge ist (zwar kein Intervall, aber) zur y-Achse symmetrisch, denn es gilt: Sei {{formula}}x\in \mathbb{R}^*{{/formula}} beliebig. Damit gilt {{formula}}-x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}. Damit ist gezeigt, was verlangt ist (alias q.e.d.).
	1	+**Vorbemerkung:**
	2	+1. Für die angegebenen Funktionsgleichungen ist jeweils {{formula}}\mathbb{R}^*{{/formula}} der maximale Definitionsbereich {{formula}}\bold{D}{{/formula}}.
	3	+1. Diese Zahlenmenge ist zur y-Achse symmetrisch, denn mit {{formula}}x\in \mathbb{R}^*{{/formula}} gilt stets auch {{formula}}-x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}.
	4	+{{formula}}\emph{Expliziter:}{{/formula}} Es sei ein {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}} gegeben, d.h. {{formula}}x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}, also gilt {{formula}}x\in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}x\ne 0{{/formula}}. Daraus folgt {{formula}}-x\in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}-x\ne 0{{/formula}}, also gilt {{formula}}-x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}, d.h. {{formula}}-x\in \bold{D}{{/formula}}.
	5	+1. Bei Bearbeitung der Teilaufgaben zeigen wir eine vorliegende Symmetrie jeweils durch eine allgemeine Rechnung und zeigen eine Nicht-Symmetrie jeweils durch ein (Gegen-)Beispiel. - Dieses Vorgehen ist zum Teil redundant, denn die Funktionen in den Teilaufgaben sind offensichtlich keine Nullabbildungen und es können nur Nullabbildungen beide Symmetrien haben.
	6	+{{formula}}\emph{Expliziter:}{{/formula}} Wenn ein Funktionsgraph K,,f,, symmetrisch zum Ursprung und symmetrisch zur y-Achse ist, dann muss die Funktion eine Nullabbildung ({{formula}}x\mapsto 0{{/formula}}) sein. Denn nach Voraussetzung gilt die Termkette {{formula}}-f(x)=f(-x)=f(x){{/formula}}, also die Gleichungen {{formula}}-f(x)=f(x){{/formula}} bzw. {{formula}}0=2\cdot f(x){{/formula}} bzw. {{formula}}f(x)=0{{/formula}}.
3	3
	8	+**Teilaufgaben:**
4	4	(% style="list-style: alphastyle" %)
5		-1. {{formula}}f(x)=\frac{5}{x}{{/formula}}
6		-Beweis:
7		-1) Sei {{formula}}x\in \mathbb{R}^*{{/formula}} beliebig. Damit gilt {{formula}}-x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}. Damit ist gezeigt, was verlangt ist (alias q.e.d.).
8		-1. {{formula}}f(x)=\frac{5}{x}+1{{/formula}}
9		-1. {{formula}}f(x)=\frac{5}{x^2}{{/formula}}
10		-1. {{formula}}f(x)=\frac{5}{x^2}+1{{/formula}}
	10	+1. Es gilt allgemein {{formula}}f(-x)=\frac{5}{-x}=-(\frac{5}{x})=-f(x){{/formula}} für jedes {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}}, also ist K,,f,, symmetrisch zum Ursprung.
	11	+Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=-5\ne 5=f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
	12	+1. Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=-4\ne -6=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
	13	+Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=-4\ne 6=f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
	14	+1. Es gilt allgemein {{formula}}f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}=\frac{5}{x^2}=f(x){{/formula}} für jedes {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}}, also ist K,,f,, symmetrisch zur y-Achse.
	15	+Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=5\ne -5=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
	16	+1. Es gilt allgemein {{formula}}f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}+1=\frac{5}{x^2}+1=f(x){{/formula}} für jedes {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}}, also ist K,,f,, symmetrisch zur y-Achse.
	17	+Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=6\ne -6=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist.