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Lösung Probe Wurzelgleichungen

Zuletzt geändert von Niklas Wunder am 2024/10/14 12:17

a) Man errechnet

\[\begin{align*} \sqrt{x+4}=x-2 \;\; | \,^2 \\ x+4=(x-2)^2\\ x+4=x^2-4x+4 \;\; | \,-x-4\\ 0=x^2-5x=x\cdot(x-5) \end{align*}\]

Somit folgt mit dem Lemma vom Nullprodukt (Satz vom Nullprodukt), dass \( x_1=0 \) und \( x_2=5 \) mögliche Lösungen der Gleichung sind. Die Probe der beiden Lösungen liefert
1.Fall \( x_1=0 \)
\( \sqrt{x_1+4}=\sqrt{0+4}=2 \neq -2=0-2=x_1-2 \)
liefert eine falsche Aussage, d.h. \(x_1=0 \) ist keine Lösung.

1.Fall \( x_1=5 \)
\( \sqrt{x_2+4}=\sqrt{5+4}=3=5-2=x_2-2 \)
liefert eine wahre Aussage, d.h. \(x_2=5\) ist ebenfalls eine Lösung.
Wir erhalten somit die Lösungsmenge \(L=\lbrace 5\rbrace\).

b) Man errechnet

\[ \begin{align*} \sqrt{x-3}=\sqrt{2\,x+3} \;\; |\,^2\\ x-3=2\,x+3 \,\, | -x\\ -3=x+3 \,\, |-3\\ x=-6 \,. \end{align*}\]

Wir überprüfen  
\( \sqrt{x-3}=\sqrt{-6-3}=\sqrt{-9} \,.\)
Dies führt auf eine negative Wurzel, die keine reelle Lösung hat. Die Probe ist also negativ und \( x=-6 \) ist keine Lösung. Die Lösungsmenge lautet demnach \( L = \emptyset \) .
c) Man errechnet

\[ \begin{align*} \sqrt{x+27}=6\cdot \sqrt{x-8} \;\; |\,^2 \\ x+27 = 36 \cdot (x-8) x+27=36\,x- 288\\ 35\,x=315 \\ x=9\,. \end{align*}\]

Die Probe liefert
\( \sqrt{x+27}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6=6\cdot 1=6\cdot \sqrt{9-8}=6\cdot \sqrt{x-8}\,.\)
Die Lösungsmenge ist demnach \( L=\lbrace 9\rbrace \)