Lösung Probe Wurzelgleichungen

Zuletzt geändert von Niklas Wunder am 2024/10/14 14:17

a) Man errechnet

\begin{align*} \sqrt{x+4}=x-2 \;\; | \,^2 \\ x+4=(x-2)^2\\ x+4=x^2-4x+4 \;\; | \,-x-4\\ 0=x^2-5x=x\cdot(x-5) \end{align*}

Somit folgt mit dem Lemma vom Nullprodukt (Satz vom Nullprodukt), dass x_1=0  und x_2=5  mögliche Lösungen der Gleichung sind. Die Probe der beiden Lösungen liefert
1.Fall x_1=0
\sqrt{x_1+4}=\sqrt{0+4}=2 \neq -2=0-2=x_1-2
liefert eine falsche Aussage, d.h. x_1=0  ist keine Lösung.

1.Fall x_1=5
\sqrt{x_2+4}=\sqrt{5+4}=3=5-2=x_2-2
liefert eine wahre Aussage, d.h. x_2=5 ist ebenfalls eine Lösung.
Wir erhalten somit die Lösungsmenge L=\lbrace 5\rbrace.

b) Man errechnet

\begin{align*} \sqrt{x-3}=\sqrt{2\,x+3} \;\; |\,^2\\ x-3=2\,x+3 \,\, | -x\\ -3=x+3 \,\, |-3\\ x=-6 \,. \end{align*}

Wir überprüfen  
\sqrt{x-3}=\sqrt{-6-3}=\sqrt{-9} \,.
Dies führt auf eine negative Wurzel, die keine reelle Lösung hat. Die Probe ist also negativ und x=-6  ist keine Lösung. Die Lösungsmenge lautet demnach L = \emptyset  .
c) Man errechnet

\begin{align*} \sqrt{x+27}=6\cdot \sqrt{x-8} \;\; |\,^2 \\ x+27 = 36 \cdot (x-8) x+27=36\,x- 288\\ 35\,x=315 \\ x=9\,. \end{align*}

Die Probe liefert
\sqrt{x+27}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6=6\cdot 1=6\cdot \sqrt{9-8}=6\cdot \sqrt{x-8}\,.
Die Lösungsmenge ist demnach L=\lbrace 9\rbrace