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Lösung Probe Wurzelgleichungen

Version 19.1 von Niklas Wunder am 2024/10/14 12:28

a) Man errechnet

\begin{align*} \sqrt{x+4}=x-2 \;\; | \,^2 \\ x+4=(x-2)^2\\ x+4=x^2-4x+4 \;\; | \,-x-4\\ 0=x^2-5x=x\cdot(x-5) \end{align*}

Somit folgt mit dem Lemma vom Nullprodukt (Satz vom Nullprodukt), dass x_1=0  und x_2=5  mögliche Lösungen der Gleichung sind. Die Probe der beiden Lösungen liefert
1.Fall x_1=0
\sqrt{x_1+4}=\sqrt{0+4}=2=0-2=x_1-2
liefert eine wahre Aussage, d.h. x_1=0 ist eine Lösung.

1.Fall x_1=0
\sqrt{x_2+4}=\sqrt{5+4}=3=5-2=x_2-2
liefert eine wahre Aussage, d.h. x_2=5 ist ebenfalls eine Lösung.

Wir erhalten somit die Lösungsmenge L=\lbrace 0;\,5\rbrace

b) 

\begin{align*} d \end{align*}

c) 

\begin{align*} \sqrt{x+27}=6\cdot \sqrt{x-8} \;\; |\,^2 \\ x+27 = 36 \cdot (x-8) x+27=36\,x- 288\\ 35\,x=315 \\ x=9 \end{align*}

Die Probe liefert
\sqrt{x+27}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6=6\cdot 1=6\cdot \sqrt{9-8}=6\cdot \sqrt{x-8}\,.
Die Lösungsmenge ist demnach L=\lbrace 9\rbrace