BPE 3 Einheitsübergreifend

1  Arithmagon Darstellungsformen  (10 min)

2  Kosten- und Erlösfunktion  (30 min) 𝕃

Ein Unternehmen bietet seinen Kunden für eine Testphase ein neues Produkt an. Die Gesamtkosten für dieses Produkt können durch die Funktion \(K\) mit \(K(x)=0,2x^3-x^2+4x+8\) beschrieben werden, wobei \(x\) in Mengeneinheiten (ME), \(K\) in Geldeinheiten (GE).
Der erzielte Erlös ist das Produkt aus dem Verkaufspreis und der Menge und kann mit der Funktion \(E\) mit \(E(x)=10x\) beschrieben werden.

1. Zeichne das Schaubild der Erlös- und Kostenfunktion in ein gemeinsames Koordinatensystem. Markiere die Gewinnzone, d.h. die Produktionsmenge, für die kein Verlust gemacht wird.
2. Begründe, dass für 1 ME bzw. für 8 ME die Kosten und der Erlös gleich groß sind.
3. Bestimme den maximalen Gewinn.
4. Durch Veränderungen im Produktionsprozess verändert sich die Kostenfunktion zu \(K_{neu}(x)=1,88x^2-6,90x+15,02\). Die Erlösfunktion \(E\) bleibt unverändert. Überprüfe, ob für diese neue Kostenfunktion \(K_{neu}\) die Gewinnzone und der maximal erzielbare Gewinn gleich bleiben.

3  Nichomachus  (25 min) 𝕃

„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“

Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:

Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.

4  Symmetrie mit Prüfkriterien nachweisen  (10 min) 𝕃

Untersuche auf Symmetrie mit den Prüfbedingungen \(f(-x)=f(x)\) bzw. \(f(-x)=-f(x)\).

1. \(f(x)=\frac{x}{x^2-4}\)
2. \(f(x)=\frac{x^2}{x^4-x^6}\)

5  Summe und Differenz  (10 min) 𝕃

1. Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Mittelwert 21 und deren Differenz 0 ist.
2. Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 42 und deren Differenz 0 ist.
3. Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 42 und deren Differenz 6 ist.
4. Ermittle die Zahlen \(x\) und \(y\) als Linearkombination in \(m\) und \(u\).
   \(\begin{bmatrix}x=\square\cdot m+\square\cdot u\\ y=\square\cdot m+\square\cdot u\end{bmatrix}\Leftrightarrow\begin{bmatrix}2m=x+y\\ 2u=x-y\end{bmatrix}\)

6  Summe und Produkt  (15 min) 𝕃

1. Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Mittelwert 10 und deren Produkt 100 ist.
2. Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 20 und deren Produkt 100 ist.
3. Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 20 und deren Produkt 91 ist.
4. Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 20 und deren Produkt um 9 kleiner ist als das Quadrat ihres arithmetischen Mittels.
5. Gegeben sind Summe und Produkt zweier Zahlen \(x\) und \(y\). Berechne daraus ihren Mittelwert \(m\) und ihre Abweichung \(u\) von \(m\); gemäß obiger Aufgabe lassen sich daraus die Zahlen \(x\) und \(y\) ermitteln.
   Ansatz. Schreibe im Produkt \(x\cdot y\) die Faktoren als Summe bzw. Differenz von \(m\) und \(u\); wende die dritte binomische Formel an und löse nach der Abweichung auf.