Änderungen von Dokument Lösung Kosten- und Erlösfunktion

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -6,19 +6,19 @@
6	6	Alternativ sehen wir auch durch Rechnung, dass die Funktionswerte an beiden Stellen __fast__ gleich groß sind:
7	7
8	8	{{formula}}
9		-\begin{align}
	9	+\begin{align*}
10	10	K(1)&=0,2\cdot 1^3-1^2+4\cdot1+8=0,2-1+4+8 \\
11	11	&=11,2 \\
12	12	&\approx E(1)=10\cdot1=10
13		-\end{align}
	13	+\end{align*}
14	14	{{/formula}}
15	15
16	16	{{formula}}
17		-\begin{align}
	17	+\begin{align*}
18	18	K(8)&=0,2\cdot 8^3-8^2+4\cdot8+8=102,4-64+32+8 \\
19	19	&=78,4 \\
20	20	&\approx E(8)=10\cdot8=80
21		-\end{align}
	21	+\end{align*}
22	22	{{/formula}}
23	23
24	24	)))
...	...	@@ -25,11 +25,11 @@
25	25	1. (((Wir erhalten die Gewinnfunktion {{formula}}G{{/formula}}, indem wir vom Erlös die Kosten abziehen, das heißt
26	26
27	27	{{formula}}
28		-\begin{align}
	28	+\begin{align*}
29	29	G(x)&=E(x)-K(x) \\
30	30	&=10x-(0,2x^3-x^2+4x+8)=10x-0,2x^3+x^2-4x-8 \\
31	31	&=-0,2x^3+x^2+6x+8
32		-\end{align}
	32	+\end{align*}
33	33	{{/formula}}
34	34
35	35	Mit einer Wertetabelle können wir feststellen, dass die Funktion {{formula}}G(x){{/formula}} ihr Maximum bei etwa (5|38) hat (Genauer bei etwa (5,24|38,16)).
...	...	@@ -36,36 +36,27 @@
36	36
37	37	Der maximale Gewinn beträgt also 38 GE.
38	38	)))
39		-1. ((( Es gilt {{formula}}K_{neu}(1)=10=E(1){{/formula}} und {{formula}}K_{neu}(8)=80,14\approx 80=E(8){{/formula}}. Somit sind für 1 ME und 8 ME Kosten und Erlös gleich groß. Die Gewinnzone liegt also unverändert zwischen {{formula}}x=1{{/formula}} und{{formula}}x=8{{/formula}}.
	39	+1. ((( Es gilt {{formula}}K_{neu}(1)=10=E(1){{/formula}} und {{formula}}K_{neu}(8)=80,14\approx 80=E(8){{/formula}}. Somit sind für 1 ME und 8 ME Kosten und Erlös gleich groß. Die Gewinnzone liegt also unverändert zwischen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}}.
40	40
41	41	Die neue Gewinnfunktion ist
42	42
43	43	{{formula}}
44		-\begin{align}
	44	+\begin{align*}
45	45	G(x)&=E(x)-K(x) \\
46	46	&=10x-(1,88x^2-6,9x+15,02)=10x-1,88x^2+6,9x-15,02 \\
47	47	&=-1,88x^2+16,9x-15,02
48		-\end{align}
	48	+\end{align*}
49	49	{{/formula}}
50	50
51		-Wir berechnen die Nullstellen der Funktion {{formula}}G(x){{/formula}} mit der Mitternachtsformel:
	51	+Da {{formula}}G(x){{/formula}} eine nach unten geöffnete Parabel ist, wissen wir, dass das Maximum der Funktion der Scheitelpunkt ist. Dieser liegt genau zwischen den beiden Nullstellen von {{formula}}G(x){{/formula}}.
	52	+Der Gewinn ist genau dann 0, wenn der Erlös genauso groß ist wie die Kosten.
	53	+Da wir bereits wissen, dass die Erlös- und Kostenfunktion an den Stellen {{formula}}x_1=1{{/formula}} und {{formula}}x_2\approx 8{{/formula}} gleich groß sind, sind dies die Nullstellen der Funktion {{formula}}G(x){{/formula}}.
52	52
53		-{{formula}}
54		-\begin{aligned}
55		-x_{1,2}&=\frac{-16,9\pm\sqrt{16,9^2-4\cdot(-1,88)\cdot (-15,02)}{2\cdot (-1,88)} \\
56		- &=\frac{-16,9\pm 13,14}{-3,76} \\
57		-x_1&=\frac{-16,9+13,14}{-3,76}=\frac{-3,76}{-3,76}=1 \\
58		-x_2&=\frac{-16,9-13,14}{-3,76}=\frac{-30,04}{-3,76}\approx 7,99
59		-\end{aligned}
60		-{{/formula}}
	55	+Das Maximum liegt genau zwischen den beiden Nullstellen der Funktion, das heißt an der Stelle {{formula}}x=\frac{1+8}{2}=4,5{{/formula}}.
61	61
62		-Das Maximum liegt genau zwischen den beiden Nullstellen der Funktion, das heißt an der Stelle {{formula}}x=\frac{1+7,99}{2}=4,495{{/formula}}.
	57	+{{formula}}G(4,5)\approx 22,96{{/formula}}
63	63
64		-{{formula}}G(4,495)\approx 22,96{{/formula}}
65		-
66	66	Der maximale Gewinn beträgt also in etwa 22,96 GE und bleibt somit nicht gleich.
67	67
68		-//Alternativ kann man den maximalen Gewinn auch wieder mit Hilfe einer Wertetabelle bestimmen.//
69		-
70	70	)))
71	71