Änderungen von Dokument Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 5

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Dokument-Autor

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1		-XWiki.akukin
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Inhalt

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1		-a) Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass die linke Seite der Gleichung genau dann 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist. Der Faktor {{formula}}(2x-2){{/formula}} wird 0 für {{formula}}x=1{{/formula}} ({{formula}}2x-2=0 \ \Leftrightarrow \2x=2 \ \Leftrightarrow \ x=1{{/formula}}).
	1	+a) Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass die linke Seite der Gleichung genau dann 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
	2	+Der Faktor {{formula}}(2x-2){{/formula}} wird 0 für {{formula}}x=1{{/formula}} ({{formula}}2x-2=0 \ \Leftrightarrow \ 2x=2 \ \Leftrightarrow \ x=1{{/formula}}).
2	2	Der Faktor {{formula}}(x+4){{/formula}} wird 0 für {{formula}}x=-4{{/formula}} ({{formula}}x+4=0 \ \Leftrightarrow \ x=-4{{/formula}}).
3	3
4	4	Somit sind die Lösungen der Gleichung {{formula}}x_1=1{{/formula}} und {{formula}}x_2=-4{{/formula}} jeweils mit Vielfachheit 1.
...	...	@@ -19,12 +19,31 @@
19	19
20	20	{{formula}}
21	21	\begin{align}
22		-& \quad \quad 3x^2+4 &&=\frac{1}{2}x+4 &\mid -4 \\
23		-& \Leftrightarrow 3x^2 &&=\frac{1}{2}x &\mid -\frac{1}{2}x \\
	23	+& \quad \quad 3x^2+4 &&=\frac{1}{2}x+4 \quad \mid -4 \\
	24	+& \Leftrightarrow 3x^2 &&=\frac{1}{2}x \quad \ \ \quad \mid -\frac{1}{2}x \\
24	24	& \Leftrightarrow 3x^2 -\frac{1}{2}x &&= 0 \\
25		-& \Leftrightarrow x(3x-\frac{1}{2}) &&=0
	26	+& \Leftrightarrow x \left(3x-\frac{1}{2}\right) &&=0
26	26	\end{align}
27	27	{{/formula}}
28	28
29	29	Mit dem Satz vom Nullprodukt ergibt sich {{formula}}x_1=0{{/formula}} und {{formula}}x_2=\frac{1}{6}{{/formula}} ({{formula}} 3x-\frac{1}{2}=0 \ \Leftrightarrow \ 3x=\frac{1}{2} \ \Leftrightarrow \ x=\frac{1}{6}{{/formula}}).
30	30	Die Lösungen besitzen beide die Vielfachheit 1.
	32	+
	33	+d) Ausmultiplizieren liefert {{formula}}x^2(3x^2-10)+3 = 3x^4-10x^2+3 = 0{{/formula}}.
	34	+Nun substituieren wir {{formula}}x^2{{/formula}} mit {{formula}}z{{/formula}}, wodurch wir die Gleichung {{formula}}3z^2-10z+3=0{{/formula}} erhalten, auf die sich die abc-Formel (bzw. nach Division durch 3 die pq-Formel) anwenden lässt:
	35	+
	36	+{{formula}}
	37	+\begin{align}
	38	+z_{1,2} &=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3} \\
	39	+&= \frac{10\pm\sqrt{100-36}}{6} \\
	40	+&= \frac{10\pm\sqrt{64}}{6} \\
	41	+&= \frac{10\pm 8}{6}
	42	+\end{align}
	43	+{{/formula}}
	44	+
	45	+Somit ist {{formula}}z_1=\frac{10+8}{6}=3{{/formula}} und {{formula}}z_2=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{{/formula}}.
	46	+
	47	+Resubstitution ergibt {{formula}}x^2=z \ \Leftrightarrow \ x=\pm\sqrt{z}{{/formula}} und somit:
	48	+{{formula}}x_{1,2}=\pm\sqrt{3}{{/formula}} und {{formula}}x_{3,4}= \pm\sqrt{\frac{1}{3}}{{/formula}}.
	49	+
	50	+Die Nullstellen besitzen jeweils die Vielfachheit 1.