Änderungen von Dokument Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 6

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Seiteneigenschaften

Übergeordnete Seite

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Dokument-Autor

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1		-XWiki.martinrathgeb
	1	+XWiki.akukin

Inhalt

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1		-a) {{formula}}f{{/formula}} besitzt den Grad 4, da die Funktion ausmultipliziert {{formula}}f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=2x^4-10x^3+12x^2{{/formula}} ist und der Grad einer Polynomfunktion dem höchsten vorkommenden Exponenten von {{formula}}x{{/formula}} entspricht. Die Vergleichsfunktion {{formula}}g{{/formula}} ist somit {{formula}}g(x)=2x^4{{/formula}}.
	1	+a) {{formula}}f{{/formula}} besitzt den Grad 4, da die Funktion ausmultipliziert {{formula}}f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=2x^4-10x^3+12x^2{{/formula}} ist und der Grad einer Polynomfunktion demhöchsten vorkommenden Exponenten von x entspricht. Die Vergleichsfunktion {{formula}}g{{/formula}} ist somit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
2	2
3		-b) Da der Grad von {{formula}}f{{/formula}} gerade ist und der Vorfaktor des führenden Exponenten (2) positiv ist, gilt für das Verhalten:
	3	+b) Der der Grad von {{formula}}f{{/formula}} gerade ist und der Vorfaktor des führenden Exponenten (2) positiv ist, gilt für das Verhalten:
4	4	Für {{formula}}x\rightarrow \infty{{/formula}} geht {{formula}}f(x)\rightarrow \infty{{/formula}}.
5	5	Für {{formula}}x\rightarrow -\infty{{/formula}} geht {{formula}}f(x)\rightarrow \infty{{/formula}}.
6	6
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8	8
9	9	(Alternativ: {{formula}}f(-x)= 2(-x)^4-10(-x)^3+12(-x)^2=2x^4+10x^3+12x^2 \neq f(x) \ \text{oder} \ -f(x){{/formula}})
10	10
11		-d) Wir setzen {{formula}}f(x)=0{{/formula}}: {{formula}}f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=0 {{/formula}}
12		-und sehen mit dem Satz vom Nullprodukt direkt, dass die linke Seite 0 wird für {{formula}}x=0{{/formula}}.
	11	+d) Wir setzen {{formula}}f(x)=0{{/formula}}:
	12	+{{formula}}f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=0 {{/formula}} und sehen mit dem Satz vom Nullprodukt direkt, dass die linke Seite 0 wird für {{formula}}x=0{{/formula}}.
13	13
14		-Nun schauen wir, wann der Faktor {{formula}}(x^3-5x^2+6x)=0{{/formula}} wird.
	14	+Nun schauen wir, wann der Faktor {{formula}}(x^3-5x^2+6x){{/formula}} 0 wird.
15	15	{{formula}}x^3-5x^2+6x=0 \ \Leftrightarrow \ x(x^2-5x+6)=0{{/formula}}. Mit dem Satz vom Nullprodukt, ergibt sich wieder {{formula}}x=0{{/formula}}.
16	16	Um zu schauen, wann {{formula}}x^2-5x+6=0{{/formula}} gilt, wenden wir die Mitternachtsformel an:
17	17
18	18	{{formula}}
19	19	\begin{align}
20		-x_{3,4} &=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6 }}{2\cdot 1} \\
21		-&=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} \\
22		-&= \frac{5\pm\sqrt{1}}{2} \\
23		-&= \frac{5\pm 1}{2}
	20	+x_{3,4} &=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6 }}{2\cdot 1} \\
	21	+&=\frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2} \\
	22	+&= \frac{-5\pm\sqrt{1}}{2} \\
	23	+&= \frac{-5\pm 1}{2}
24	24	\end{align}
25	25	{{/formula}}
26	26
27		-Wir erhalten so die beiden Nullstellen {{formula}}x_3= \frac{5+1}{2}=3{{/formula}} und {{formula}}x_4=\frac{5-1}{2}=2{{/formula}}.
	27	+Wir erhalten so die beiden Nullstellen {{formula}}x_3= \frac{-5+1}{2}=-2{{/formula}} und {{formula}}x_4=\frac{-5- 1}{2}=-3{{/formula}}.
28	28
29		-Insgesamt erhalten wir die vier Nullstellen {{formula}}x_{1,2}=0{{/formula}} (doppelte Nullstelle), {{formula}}x_3=3{{/formula}} (einfache Nullstelle) und {{formula}}x_4=2{{/formula}} (einfache Nullstelle).
	29	+Insgesamt erhalten wir die vier Nullstellen {{formula}}x_{1,2}=0{{/formula}}(doppelte Nullstelle), {{formula}}x_3=-2{{/formula}} (einfache Nullstelle) und {{formula}}x_4=-3{{/formula}} (einfache Nullstelle).
30	30
31		-e) Wichtig bei der Skizze sind die Nullstellen und das globale Verhalten. Bei den Nullstellen ist zu beachten, dass an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} eine doppelte Nullstelle liegt und der Graph die x-Achse somit nur berührt und dass bei den anderen beiden Nullstellen die x-Achse geschnitten wird.
	31	+e) Wichtig bei der Skizze sind die Nullstellen und das globale Verhalten. Bei den Nullstellen ist zu beachten, dass an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} eine doppelte Nullstelle liegt und der Graph die x-Achse somit nur berührt.
32	32
33		-[[image:Funktionsgraph.png||width="320" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

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