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Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 7

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/03 07:08

Die Linearfaktordarstellung einer Funktion vierten Grades lautet allgemein f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4), wobei x_1,x_2,x_3, x_4 Nullstellen von f sind.

Der Graph besitzt eine Nullstelle an der Stelle x=-1. Da der Graph an der Stelle die x-Achse schneidet, liegt eine einfache Nullstelle vor.
An der Stelle x=2 liegt eine dreifache Nullstelle vor, da hier eine Sattelstelle (waagerechte Tangente) erkennbar ist.
Somit ist x_1=-1 und x_{2,3,4}=2 und die Linearfaktordarstellung ist gegeben durch f(x) = a(x+1)(x-2)^3. 

Um nun den Faktor a zu bestimmen, setzen wir den Punkt P(0|-3)  (y-Achsenabschnitt) in die Funktionsgleichung ein:

-3=a\cdot(0+1)\cdot(0-2)^3=a\cdot 1 \cdot (-8) \ \Leftrightarrow \ a=\frac{-3}{-8}=\frac{3}{8}.

Die Funktionsgleichung lautet also f(x) = \frac{3}{8}(x+1)(x-2)^3