Lösung Darstellungsformen umwandeln

a) \( f(x)=-\frac{1}{16}\cdot (x-2)^2\cdot (x-8)\)
\( f(x)= -\frac{1}{16}\cdot (x^2-4x+4)\cdot (x-8)\)
\( f(x)= -\frac{1}{16}\cdot (x^3-12\,x^2+36\,x-32)\)
\( f(x)= -\frac{1}{16}\,x^3+\frac{3}{4}\,x^2-\frac{9}{4}\,x+2\)

b) \( f(x)=(x-3)\cdot(x^2+3x+9)\)
\( f(x)=x^3+3x^2+9\,x-3\,x^2-9\,x-27\)
\( f(x)=x^3-27\)

c) Der Faktor vor der höchsten Potenz (hier die 3) taucht auch als Faktor in der Produktform auf. Aus den Nullstellen der Funktion ergeben sich die beiden möglichen Produktformen \( f(x)= 3\cdot (x-2)^2\cdot (x-7)\) oder \( f(x)= 3\cdot (x-2)\cdot (x-7)^2\) für die Funktion f. Wenn man die Produktform ausmultipliziert müssen die drei Zahlen in den Klammern (die doppelte Nullstelle nimmt man zweimal) multipliziert mit 3 gerade -84 ergeben. Daraus erhält man die beiden (Un)gleichungen \( 3\cdot (-2)^2\cdot(-7)=-84\) und \( 3\cdot -2\cdot(-7)^2=-294\neq -84\). Die erste Form ist die Richtige und damit \( f(x)= 3\cdot (x-2)^2\cdot (x-7)\)

d) Der Faktor vor der höchsten Potenz (hier die -2) taucht auch als Faktor in der Produktform auf. Aus den Nullstellen der Funktion ergeben sich die drei möglichen Produktformen \( f(x)= -2\cdot (x+2)^2\cdot (x-1)\cdot (x-3)\) oder \( f(x)= -2\cdot (x+2)\cdot (x-1)^2\cdot (x-3)\) oder \( f(x)= -2\cdot (x+2)\cdot (x-1)\cdot (x-3)^2\) für die Funktion f. Wenn man die Produktform ausmultipliziert müssen die vier Zahlen in den Klammern (die doppelte Nullstelle nimmt man zweimal) multipliziert mit -2 gerade -24  ergeben. Daraus erhält man die drei Gleichungen \( -2\cdot 2^2\cdot(-1)\cdot(-3)=-24=-24\) und \( -2\cdot 2\cdot(-1)^2\cdot(-3)=12\neq-24\) und \( -2\cdot 2\cdot(-1)\cdot(-3)^2=36\neq-24\). Die erste Form ist die Richtige und damit \( f(x)= -2\cdot (x+2)^2\cdot (x-1)\cdot (x-3)\)