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Änderungen von Dokument Lösung Symmetrie Parameter bestimmen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/02/11 19:53
Von Version 3.1
bearbeitet von Holger Engels
am 2024/10/27 07:55
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bearbeitet von Holger Engels
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,8 +1,10 @@
1 1  Bestimme einen Zahlenwert {{formula}}a{{/formula}} so, dass der Graph symmetrisch zum Koordinatenursprung oder zur y-Achse ist.
2 2  
3 -Für Symmetrie zur y-Achse gilt: {{formula}}f(x)=f(-x){{/formula}}
4 -Für Symmetrie zum Ursprung gilt: {{formula}}f(x)=-f(-x){{/formula}}
3 +Für Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: {{formula}}f(x)=f(-x){{/formula}}
4 +Für Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: {{formula}}f(x)=-f(-x){{/formula}}
5 5  
6 +Es gibt hier zwei mögliche Herangehensweisen. Man kann es rein rechnerisch angehen, indem man obige Bedingungen prüft. Alternativ kann man die Nullstellen und deren Vielfachheiten heranziehen.
7 +
6 6  (% style="list-style:alphastyle" %)
7 7  1. ((({{formula}}f(x)=x+a{{/formula}}
8 8  Check y-Achse: {{formula}}f(-x)=-x+a \neq x+a{{/formula}} ↯
... ... @@ -13,7 +13,15 @@
13 13  Check Ursprung: {{formula}}-f(-x)=-(-x+1)(-x-a) = (-x+1)(x+a) \neq (x+1)(x-a){{/formula}}
14 14  )))
15 15  1. ((({{formula}}f(x)=x(x+a)^2{{/formula}}
18 +Ein Weg, hier auf Symmetrien zu prüfen, ist, den Term zunächst auszumultiplizieren:
19 +{{formula}}f(x)=x^3+2ax^2+a^2x{{/formula}}
20 +Der Grad ist 3 und damit ungerade. Es kommt also nur eine Punktsymmetrie zum Ursprung in Frage. Wir bilden {{formula}}-f(-x){{/formula}}:
21 +{{formula}}-f(-x)=-((-x)^3+2a(-x)^2+a^2(-x))=-(-x^3+2ax^2-a^2x)=x^3-2ax^2+a^2x{{/formula}}
22 +Der zweite Summand hat ein anderes Vorzeichen. Dieser muss rausfliegen, damit die Punktsymmetrie vorliegen kann. Das ist der Fall für {{formula}}a=0{{/formula}}
16 16  )))
17 17  1. ((({{formula}}f(x)=x(x^2+a){{/formula}}
25 +Auch hier ist der Grad der Polynomfktion 3 und es kommt nur die Punktsymmetrie zum Ursprung in Frage:
26 +{{formula}}-f(-x)=-(-x((-x)^2+a))=x(x^2+a){{/formula}}
27 +Auf das //a// kommt es nicht an. Der Funktionsgraph ist also für beliebige //a// punktsymmetrisch zum Ursprung.
18 18  )))
19 19