Lösung Symmetrie Parameter bestimmen

Bestimme einen Zahlenwert \(a\)  so, dass der Graph symmetrisch zum Koordinatenursprung oder zur y-Achse ist.

Für Symmetrie zur y-Achse gilt: \(f(x)=f(-x)\)
Für Symmetrie zum Ursprung gilt: \(f(x)=-f(-x)\)

1. \(f(x)=x+a\)
   Check y-Achse: \(f(-x)=-x+a \neq x+a\) ↯
   Check Ursprung: \(-f(-x)=-(-x+a)=x-a \rightarrow x+a = x-a\) für \(a=0\)

2. \(f(x)=(x+1)(x-a)\)
   Check y-Achse: \(f(-x)=(-x+1)(-x-a) = -(-x+1)(x+a) = (x-1)(x+a) \rightarrow (x+1)(x-a) = (x-1)(x+a)\) für \(a=1\)
   Check Ursprung: \(-f(-x)=-(-x+1)(-x-a) = (-x+1)(x+a) \neq (x+1)(x-a)\)

3. \(f(x)=x(x+a)^2\)
   Check y-Achse: \(f(-x)=-x(-x+a)^2 = -x(x^2-2ax+a^2) = -x^3+2ax^2-a^2x \neq x(x+a)^2\)
   Check Ursprung: \(-f(-x)=-(-x(-x+a)^2) = x(x^2-2ax+a^2) = x^3-2ax^2+a^2x \neq x(x+a)^2\)

4. \(f(x)=x(x^2+a)\)
   Check y-Achse: \(f(-x)=-x((-x)^2+a) = -x^3-ax \neq x(x^2+a)\)
   Check Ursprung: \(-f(-x)=-(-x((-x)^2+a)) = x^3+ax = x(x^2+a)\)