Änderungen von Dokument BPE 3.4 Polynomgleichungen

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.holgerengels
	1	+XWiki.martinrathgeb

Inhalt

...	...	@@ -7,7 +7,9 @@
7	7	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
8	8	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
9	9
10		-Numerisches Lösungsverfahren
	10	+{{lernende}}
	11	+**KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
	12	+{{/lernende}}
11	11
12	12	{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
13	13	Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
...	...	@@ -54,36 +54,53 @@
54	54
55	55	{{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
56	56	(% class="abc" %)
57		-1. ((({{formula}}\square x^3+\square=0{{/formula}}
58		-{{formula}}\square x^3=\square{{/formula}} | //:2//
59		-{{formula}}x^3=\square{{/formula}}
60		-{{formula}}x=-2{{/formula}}
	59	+1. ((({{{ }}}
	60	+
	61	+{{formula}}
	62	+\begin{align*}
	63	+\square x^3+\square &= 0\\
	64	+\square x^3 &=\square\quad \left| :2\\
	65	+x^3 &= \square \\
	66	+x &= -2
	67	+\end{align*}
	68	+{{/formula}}
61	61	)))
62		-1. ((({{formula}}2x^3+\square x^2=0{{/formula}}
63		-{{formula}}\square (x-\square)=0{{/formula}} || SVNP
64		-{{formula}}x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
	70	+1. ((({{{ }}}
	71	+
	72	+{{formula}}
	73	+\begin{align*}
	74	+2x^3+\square x^2 &= 0 \\
	75	+\square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
	76	+\end{align*}
	77	+{{/formula}}
	78	+
	79	+{{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
65	65	)))
66		-1. ((({{formula}}x^4+\square x^2+\square=0{{/formula}} || Subst.: {{formula}}x^2:=\square{{/formula}}
67		-{{formula}}z^2+\square z + \square = 0{{/formula}} || SVNP
68		-{{formula fontSize="larger"}}z_{1,2}=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}{{/formula}}
69		-{{formula fontSize="larger"}}z_1=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}{{/formula}}
70		-Resubst.: {{formula}}\square := x^2{{/formula}}
71		-{{formula}}x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square{{/formula}}
72		-{{formula}}x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2{{/formula}}
73		-)))
74		-1. ((({{formula}}\begin{align*}
75		-x^4+\square x^2+\square=0 \left|\text{ Subst.: }x^2:=\square\\
76		-z^2+\square z + \square = 0 \text{ SVNP } \\
77		-z_{1,2}=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
78		-z_1=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}\\
79		-\text{Resubst.: } \square := x^2\\
80		-x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
81		-x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
	81	+1. ((({{{ }}}
	82	+
	83	+{{formula}}\begin{align*}
	84	+x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
	85	+z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
82	82	\end{align*}
	87	+{{/formula}}
	88	+
	89	+{{formula}}
	90	+\begin{align*}
	91	+\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
	92	+z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
	93	+\end{align*}
	94	+{{/formula}}
	95	+
	96	+{{formula}}
	97	+\begin{align*}
	98	+&\text{Resubst.: } \square := x^2\\
	99	+&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
	100	+&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
	101	+\end{align*}
83	83	{{/formula}})))
84	84	{{/aufgabe}}
85	85
86		-{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
	105	+{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
87	87	Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}
88	88	Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
89	89	Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.
...	...	@@ -91,8 +91,28 @@
91	91	Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.
92	92	{{/aufgabe}}
93	93
	113	+{{aufgabe id="Verfahren Ungleichungen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb" lizenz="BY-SA" zeit="15"}}
	114	+Erläutere die drei grundlegenden Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen:
	115	+(% class="abc" %)
	116	+1. das tabellarische Verfahren,
	117	+1. das graphische Verfahren,
	118	+1. das rechnerische Verfahren.
	119	+
	120	+//Ergänzung.// Stelle dir vor, du sollst einem Mitschüler oder einer Mitschülerin erklären, welches der drei Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen in welcher Situation besonders sinnvoll ist. Formuliere eine Empfehlung mit Begründung und zeige dabei, dass du die Verfahren sicher verstanden hast.
	121	+{{/aufgabe}}
	122	+
	123	+{{aufgabe id="Anwendung drei Verfahren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb" lizenz="BY-SA" zeit="25"}}
	124	+Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
	125	+
	126	+(% class="abc" %)
	127	+1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).// Erstelle zunächst eine Wertetabelle für {{formula}}x = -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2{{/formula}}. Interpretiere das Vorzeichenverhalten von {{formula}}f(x){{/formula}}.
	128	+1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).// Ergänze anschließend weitere Funktionswerte für {{formula}}x = -1{,}5,\ -0{,}5,\ 0{,}5,\ 1{,}5{{/formula}}. Interpretiere nun genauer, in welchen Intervallen die Ungleichung erfüllt sein könnte.
	129	+1. //Graphisches Verfahren.// Skizziere den Graphen der Funktion qualitativ. Nutze dafür die bisherigen Werte sowie Kenntnisse über Achsensymmetrie und das Verhalten im Unendlichen.
	130	+1. //Rechnerisches Verfahren.// Bestimme die Nullstellen rechnerisch und leite daraus die Lösung der Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ab.
	131	+{{/aufgabe}}
	132	+
94	94	{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
95		-Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}
	134	+Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}.
96	96	(% class="abc" %)
97	97	1. Löse die Ungleichung graphisch
98	98	1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
...	...	@@ -99,9 +99,12 @@
99	99	{{/aufgabe}}
100	100
101	101	{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
102		-Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}
	141	+Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}.
103	103	{{/aufgabe}}
104	104
105		-{{lehrende}}K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.{{/lehrende}}
	144	+{{lehrende}}
	145	+K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.
	146	+Es fehlt eine Aufgabe zu einem numerischen Lösungsverfahren.
	147	+{{/lehrende}}
106	106
107	107	{{seitenreflexion kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}