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BPE 3.4 Polynomgleichungen

Version 65.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 12:26
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Inhalt

K5 Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
K1 Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
K5 Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
K5 K4 Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
K5 K4 Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
K5 K4 Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen

KMap Strategietrainer

Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen \(x\in\mathbb{R}\) ohne Taschenrechner:

  1. \(0=-x^3-4096\)
  2. \(0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8)\)
  3. \(0=x^4-2x^2-35 \)
  4. \((x^2-4)(x-3)=0\)
  5. \(x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0\)
  6. \(x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4\)
AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   14 min
Quelle   Martina WagnerLizenz   CC BY-SA

Bestimme \(a\in\mathbb{R}\) so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
\((x^2-4)(x-a)=0\)

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   4 min
Quelle   Stefanie SchmidtLizenz   CC BY-SA

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion f mit \(f(x) = x^3+2x^2\). Bestätige, dass \(x_1=-2\) und \( x_2=0\) die einzigen Nullstellen von f sind.

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   4 min
Quelle   IQB e.V.
Teil 1 Aufgabe 2 a		Lizenz   CC BY 3.0

Gegeben sind die in R definierten Funktionen \( g:x \mapsto x^2-3\) und \( h:x \mapsto-x^2+2x+1\).

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für \( x=-1\) und \(x=2\) schneiden.

AFB   IIKompetenzen   K1 K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY 3.0

Gegeben ist die in Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1\).
Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung \(y=1\) schneidet.

AFB   IIKompetenzen   K2 K5 K4Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY 3.0

Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:

a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen \( 5 \) und \(-5 \) besitzt.
b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.

AFB   IIKompetenzen   K1 K6 K4Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Martina WagnerLizenz   BY-SA

Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.

AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K5 K6Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Martina WagnerLizenz   BY-SA
  1.
    \[\begin{align*} \square x^3+\square &= 0\\ \square x^3 &=\square\quad \left| :2\\ x^3 &= \square \\ x &= -2 \end{align*}\]
  2.
    \[\begin{align*} 2x^3+\square x^2 &= 0 \\ \square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP } \end{align*}\]
    \[\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6\]
  3.
    \[\begin{align*} x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\ z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } & \end{align*}\]
    \[\begin{align*} \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\ z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square} \end{align*}\]
    \[\begin{align*} &\text{Resubst.: } \square := x^2\\ &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\ &x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2 \end{align*}\]
AFB   IIIKompetenzen   K2 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   Martina WagnerLizenz   BY-SA

Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: \(-a < -b\)
Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
Sara möchte zu beiden Seiten \(a+b\) addieren.
Paul möchte beide Seiten mit  \(-1\) multiplizieren.
Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.

AFB   IKompetenzen   K4Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   Stefanie SchmidtLizenz   BY-SA

Vergleiche die drei grundlegenden Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen miteinander, erläutere sie dafür zunächst je einzeln.

  1. das tabellarische Verfahren,
  2. das graphische Verfahren,
  3. das rechnerische Verfahren.
AFB   IIKompetenzen   K4Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin RathgebLizenz   BY-SA

Das Makro [aufgabe] konnte nicht ausgeführt werden. Grund: [Parameter [kompetenzen] is mandatory]. Klicke auf diese Nachricht, um Details zu erfahren.

Gegeben ist die Ungleichung \(3x^2+12x+9\le0\)

  1. Löse die Ungleichung graphisch
  2. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
AFB   IKompetenzen   K4Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   Stefanie SchmidtLizenz   BY-SA

Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion f mit \(f(x)=3x^2+12x+9\) unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: \(-(3x^2+12x+9)>0\)

AFB   IIKompetenzen   K4Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   Stefanie SchmidtLizenz   BY-SA

Inhalt für Lehrende (Anmeldung erforderlich)

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I000230
II210421
III120021
Bearbeitungszeit gesamt: 47 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst