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Wiki-Quellcode von BPE 3.4 Polynomgleichungen

Version 65.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 12:26
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VBS 12.1 1 {{seiteninhalt/}}
holger 1.1 2
martina 5.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
5 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
Holger Engels 30.1 6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
7 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
8 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
Martina Wagner 7.1 9
Holger Engels 59.2 10 {{lernende}}
11 **KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
12 {{/lernende}}
13
Torben Würth 51.1 14 {{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
Holger Engels 55.1 15 Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
Holger Engels 39.1 16 (% class="abc" %)
17 1. {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
18 1. {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}
19 1. {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
Torben Würth 40.1 20 1. {{formula}}(x^2-4)(x-3)=0{{/formula}}
Torben Würth 44.1 21 1. {{formula}}x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0{{/formula}}
22 1. {{formula}}x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4{{/formula}}
Martina Wagner 7.1 23 {{/aufgabe}}
24
Torben Würth 52.1 25 {{aufgabe id="Lösung in Abhängigkeit von a" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Stefanie Schmidt" cc="BY-SA" zeit="4"}}
Holger Engels 55.1 26 Bestimme {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}} so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
Torben Würth 44.1 27 {{formula}}(x^2-4)(x-a)=0{{/formula}}
28 {{/aufgabe}}
29
Holger Engels 55.1 30 {{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]
Torben Würth 53.1 31 Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="4"}}
Holger Engels 55.1 32 Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = x^3+2x^2{{/formula}}. Bestätige, dass {{formula}}x_1=-2{{/formula}} und {{formula}} x_2=0{{/formula}} die einzigen Nullstellen von //f// sind.
Martina Wagner 10.1 33 {{/aufgabe}}
Martina Wagner 7.1 34
Holger Engels 55.1 35 {{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_1.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
Martina Wagner 13.1 36 Gegeben sind die in R definierten Funktionen {{formula}} g:x \mapsto x^2-3{{/formula}} und {{formula}} h:x \mapsto-x^2+2x+1{{/formula}}.
Martina Wagner 7.1 37
Martina Wagner 13.1 38 Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für {{formula}} x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} schneiden.
Martina Wagner 7.1 39 {{/aufgabe}}
40
Dirk Tebbe 55.3 41 {{aufgabe id="Schnittstellen Polynom-Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="[[IQB e.V.>>https://iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
Martina Wagner 19.1 42 Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.
Martina Wagner 21.1 43 Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.
Martina Wagner 7.1 44 {{/aufgabe}}
45
Dirk Tebbe 56.3 46 {{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="5"}}
Martina Wagner 16.1 47 Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:
48
VBS 28.1 49 a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.
50 b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.
Martina Wagner 16.1 51 {{/aufgabe}}
52
Dirk Tebbe 56.2 53 {{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
VBS 28.1 54 Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.
Martina Wagner 17.1 55 {{/aufgabe}}
56
Holger Engels 57.3 57 {{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
58 (% class="abc" %)
Holger Engels 57.44 59 1. ((({{{ }}}
Holger Engels 57.43 60
Holger Engels 57.33 61 {{formula}}
62 \begin{align*}
Holger Engels 57.35 63 \square x^3+\square &= 0\\
64 \square x^3 &=\square\quad \left| :2\\
Holger Engels 57.36 65 x^3 &= \square \\
66 x &= -2
Holger Engels 57.33 67 \end{align*}
68 {{/formula}}
Holger Engels 57.3 69 )))
Holger Engels 57.45 70 1. ((({{{ }}}
Holger Engels 57.46 71
Holger Engels 57.33 72 {{formula}}
Holger Engels 57.27 73 \begin{align*}
Holger Engels 57.31 74 2x^3+\square x^2 &= 0 \\
Holger Engels 57.32 75 \square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
76 \end{align*}
Holger Engels 57.27 77 {{/formula}}
Holger Engels 57.32 78
Holger Engels 57.37 79 {{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
Holger Engels 57.3 80 )))
Holger Engels 57.46 81 1. ((({{{ }}}
Holger Engels 57.42 82
Holger Engels 57.33 83 {{formula}}\begin{align*}
akukin 59.1 84 x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
85 z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
Holger Engels 57.15 86 \end{align*}
Holger Engels 57.17 87 {{/formula}}
Holger Engels 57.18 88
Holger Engels 57.17 89 {{formula}}
Holger Engels 57.15 90 \begin{align*}
Martin Rathgeb 60.1 91 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
Holger Engels 57.21 92 z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
Holger Engels 57.19 93 \end{align*}
94 {{/formula}}
95
96 {{formula}}
97 \begin{align*}
Holger Engels 57.20 98 &\text{Resubst.: } \square := x^2\\
99 &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
100 &x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
Holger Engels 57.7 101 \end{align*}
102 {{/formula}})))
Holger Engels 57.3 103 {{/aufgabe}}
104
Holger Engels 35.1 105 {{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
Holger Engels 37.1 106 Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}
Holger Engels 36.1 107 Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
108 Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.
Holger Engels 35.1 109 Paul möchte beide Seiten mit {{formula}}-1{{/formula}} multiplizieren.
Holger Engels 36.1 110 Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.
Holger Engels 35.1 111 {{/aufgabe}}
112
Martin Rathgeb 65.1 113 {{aufgabe id="Verfahren Ungleichungen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb" lizenz="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 63.1 114 Vergleiche die drei grundlegenden Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen miteinander, erläutere sie dafür zunächst je einzeln.
Martin Rathgeb 62.1 115 (% class="abc" %)
116 1. das tabellarische Verfahren,
117 1. das graphische Verfahren,
Martin Rathgeb 63.1 118 1. das rechnerische Verfahren.
Martin Rathgeb 61.1 119 {{/aufgabe}}
120
Martin Rathgeb 65.1 121 {{aufgabe id="Anwendung drei Verfahren" afb="II" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Fachlehrkraft" lizenz="BY-SA"}}
122 Gegeben ist die Polynomfunktion
123
124 {{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}.
125
126 Untersuche, für welche Werte von //x// die Ungleichung
127
128 {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}}
129
130 gilt.
131
132 Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
133 (% class="abc" %)
134 1. Bearbeite die Aufgabe zunächst tabellarisch: Erstelle eine Wertetabelle, berechne geeignete Funktionswerte (z. B. für ganzzahlige //x//-Werte im Bereich von –3 bis +5) und schätze daraus die Lösung der Ungleichung näherungsweise ab.
135 1. Bearbeite die Aufgabe graphisch: Skizziere den Graphen der Funktion (z. B. mithilfe der Wertetabelle oder des GTR/WTR) und ermittle daraus die Lösungsmenge visuell.
136 1. Bearbeite die Aufgabe rechnerisch: Bestimme die Nullstellen von //f// und analysiere das Vorzeichenverhalten mithilfe eines Intervallschemas.
137 {{/aufgabe}}
138
Holger Engels 34.1 139 {{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
140 Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}
141 (% class="abc" %)
142 1. Löse die Ungleichung graphisch
Holger Engels 38.1 143 1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
Holger Engels 34.1 144 {{/aufgabe}}
145
Holger Engels 37.1 146 {{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
147 Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}
148 {{/aufgabe}}
149
Holger Engels 59.3 150 {{lehrende}}
151 K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.
152 Es fehlt eine Aufgabe zu einem numerischen Lösungsverfahren.
153 {{/lehrende}}
Holger Engels 57.1 154
155 {{seitenreflexion kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}