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Wiki-Quellcode von BPE 3.4 Polynomgleichungen

Version 76.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/07 23:12
Verstecke letzte Bearbeiter
VBS 12.1 1 {{seiteninhalt/}}
holger 1.1 2
martina 5.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
5 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
Holger Engels 30.1 6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
7 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
8 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
Martina Wagner 7.1 9
Holger Engels 59.2 10 {{lernende}}
11 **KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
12 {{/lernende}}
13
Torben Würth 51.1 14 {{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
Holger Engels 55.1 15 Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
Holger Engels 39.1 16 (% class="abc" %)
17 1. {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
18 1. {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}
19 1. {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
Torben Würth 40.1 20 1. {{formula}}(x^2-4)(x-3)=0{{/formula}}
Torben Würth 44.1 21 1. {{formula}}x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0{{/formula}}
22 1. {{formula}}x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4{{/formula}}
Martina Wagner 7.1 23 {{/aufgabe}}
24
Torben Würth 52.1 25 {{aufgabe id="Lösung in Abhängigkeit von a" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Stefanie Schmidt" cc="BY-SA" zeit="4"}}
Holger Engels 55.1 26 Bestimme {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}} so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
Torben Würth 44.1 27 {{formula}}(x^2-4)(x-a)=0{{/formula}}
28 {{/aufgabe}}
29
Holger Engels 55.1 30 {{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]
Torben Würth 53.1 31 Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="4"}}
Holger Engels 55.1 32 Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = x^3+2x^2{{/formula}}. Bestätige, dass {{formula}}x_1=-2{{/formula}} und {{formula}} x_2=0{{/formula}} die einzigen Nullstellen von //f// sind.
Martina Wagner 10.1 33 {{/aufgabe}}
Martina Wagner 7.1 34
Holger Engels 55.1 35 {{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_1.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
Martina Wagner 13.1 36 Gegeben sind die in R definierten Funktionen {{formula}} g:x \mapsto x^2-3{{/formula}} und {{formula}} h:x \mapsto-x^2+2x+1{{/formula}}.
Martina Wagner 7.1 37
Martina Wagner 13.1 38 Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für {{formula}} x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} schneiden.
Martina Wagner 7.1 39 {{/aufgabe}}
40
Dirk Tebbe 55.3 41 {{aufgabe id="Schnittstellen Polynom-Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="[[IQB e.V.>>https://iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
Martina Wagner 19.1 42 Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.
Martina Wagner 21.1 43 Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.
Martina Wagner 7.1 44 {{/aufgabe}}
45
Dirk Tebbe 56.3 46 {{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="5"}}
Martina Wagner 16.1 47 Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:
48
VBS 28.1 49 a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.
50 b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.
Martina Wagner 16.1 51 {{/aufgabe}}
52
Dirk Tebbe 56.2 53 {{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
VBS 28.1 54 Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.
Martina Wagner 17.1 55 {{/aufgabe}}
56
Holger Engels 57.3 57 {{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
58 (% class="abc" %)
Holger Engels 57.44 59 1. ((({{{ }}}
Holger Engels 57.43 60
Holger Engels 57.33 61 {{formula}}
62 \begin{align*}
Holger Engels 57.35 63 \square x^3+\square &= 0\\
64 \square x^3 &=\square\quad \left| :2\\
Holger Engels 57.36 65 x^3 &= \square \\
66 x &= -2
Holger Engels 57.33 67 \end{align*}
68 {{/formula}}
Holger Engels 57.3 69 )))
Holger Engels 57.45 70 1. ((({{{ }}}
Holger Engels 57.46 71
Holger Engels 57.33 72 {{formula}}
Holger Engels 57.27 73 \begin{align*}
Holger Engels 57.31 74 2x^3+\square x^2 &= 0 \\
Holger Engels 57.32 75 \square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
76 \end{align*}
Holger Engels 57.27 77 {{/formula}}
Holger Engels 57.32 78
Holger Engels 57.37 79 {{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
Holger Engels 57.3 80 )))
Holger Engels 57.46 81 1. ((({{{ }}}
Holger Engels 57.42 82
Holger Engels 57.33 83 {{formula}}\begin{align*}
akukin 59.1 84 x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
85 z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
Holger Engels 57.15 86 \end{align*}
Holger Engels 57.17 87 {{/formula}}
Holger Engels 57.18 88
Holger Engels 57.17 89 {{formula}}
Holger Engels 57.15 90 \begin{align*}
Martin Rathgeb 60.1 91 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
Holger Engels 57.21 92 z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
Holger Engels 57.19 93 \end{align*}
94 {{/formula}}
95
96 {{formula}}
97 \begin{align*}
Holger Engels 57.20 98 &\text{Resubst.: } \square := x^2\\
99 &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
100 &x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
Holger Engels 57.7 101 \end{align*}
102 {{/formula}})))
Holger Engels 57.3 103 {{/aufgabe}}
104
Martin Rathgeb 71.1 105 {{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
Holger Engels 37.1 106 Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}
Holger Engels 36.1 107 Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
108 Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.
Holger Engels 35.1 109 Paul möchte beide Seiten mit {{formula}}-1{{/formula}} multiplizieren.
Holger Engels 36.1 110 Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.
Holger Engels 35.1 111 {{/aufgabe}}
112
Martin Rathgeb 75.1 113 {{aufgabe id="Verfahren Ungleichungen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb" lizenz="BY-SA" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 68.1 114 Erläutere die drei grundlegenden Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen:
Martin Rathgeb 62.1 115 (% class="abc" %)
116 1. das tabellarische Verfahren,
117 1. das graphische Verfahren,
Martin Rathgeb 63.1 118 1. das rechnerische Verfahren.
Martin Rathgeb 75.1 119
Martin Rathgeb 76.1 120 //Alternativ.// Stelle dir vor, du sollst einem Mitschüler oder einer Mitschülerin erklären, welches der drei Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen in welcher Situation besonders sinnvoll ist. Formuliere eine Empfehlung mit Begründung und zeige dabei, dass du die Verfahren sicher verstanden hast.
Martin Rathgeb 61.1 121 {{/aufgabe}}
122
Martin Rathgeb 75.1 123 {{aufgabe id="Anwendung drei Verfahren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb" lizenz="BY-SA" zeit="25"}}
Martin Rathgeb 71.1 124 Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
125
Martin Rathgeb 65.1 126 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 73.1 127 1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).// Erstelle zunächst eine Wertetabelle für {{formula}}x = -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2{{/formula}}. Interpretiere das Vorzeichenverhalten von {{formula}}f(x){{/formula}}.
128 1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).// Ergänze anschließend weitere Funktionswerte für {{formula}}x = -1{,}5,\ -0{,}5,\ 0{,}5,\ 1{,}5{{/formula}}. Interpretiere nun genauer, in welchen Intervallen die Ungleichung erfüllt sein könnte.
Martin Rathgeb 72.1 129 1. //Graphisches Verfahren.// Skizziere den Graphen der Funktion qualitativ. Nutze dafür die bisherigen Werte sowie Kenntnisse über Achsensymmetrie und das Verhalten im Unendlichen.
Martin Rathgeb 74.1 130 1. //Rechnerisches Verfahren.// Bestimme die Nullstellen rechnerisch und leite daraus die Lösung der Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ab.
Martin Rathgeb 65.1 131 {{/aufgabe}}
132
Holger Engels 34.1 133 {{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 69.1 134 Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}.
Holger Engels 34.1 135 (% class="abc" %)
136 1. Löse die Ungleichung graphisch
Holger Engels 38.1 137 1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
Holger Engels 34.1 138 {{/aufgabe}}
139
Holger Engels 37.1 140 {{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 70.1 141 Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}.
Holger Engels 37.1 142 {{/aufgabe}}
143
Holger Engels 59.3 144 {{lehrende}}
145 K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.
146 Es fehlt eine Aufgabe zu einem numerischen Lösungsverfahren.
147 {{/lehrende}}
Holger Engels 57.1 148
149 {{seitenreflexion kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}