BPE 3.4 Polynomgleichungen

Version 76.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/07 23:12

Inhalt

AFB I Lösen Lösung in Abhängigkeit von a Nullstellen Einfache Ungleichung Quadratische Ungleichung
AFB II Schnittstellen Schnittstellen Polynom-Gerade Grad und Nullstellen Verfahren Ungleichungen Anwendung drei Verfahren Quadratische Ungleichung
AFB III Grad 6 eine Lösung Rückwärts lösen

K5 Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
K1 Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
K5 Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
K5 K4 Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
K5 K4 Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
K5 K4 Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen

KMap Strategietrainer

Aufgabe 1 Lösen 𝕀 𝕃

Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen $x\in\mathbb{R}$ ohne Taschenrechner:

$0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8)$
$x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 14 min
Quelle Martina Wagner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Lösung in Abhängigkeit von a 𝕃

Bestimme $a\in\mathbb{R}$ so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
(x^2-4)(x-a)=0

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 4 min
Quelle Stefanie Schmidt		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Nullstellen 𝕃

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion f mit f(x) = x^3+2x^2 . Bestätige, dass x_1=-2 und x_2=0 die einzigen Nullstellen von f sind.

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 4 min
Quelle IQB e.V. Teil 1 Aufgabe 2 a		Lizenz CC BY 3.0

Aufgabe 4 Schnittstellen 𝕃

Gegeben sind die in R definierten Funktionen $g:x \mapsto x^2-3$ und $h:x \mapsto-x^2+2x+1$ .

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für x=-1 und x=2 schneiden.

AFB II	Kompetenzen K1 K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle IQB e.V.		Lizenz CC BY 3.0

Aufgabe 5 Schnittstellen Polynom-Gerade

Gegeben ist die in Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1$ .
Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung y=1 schneidet.

AFB II	Kompetenzen K2 K5 K4	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle IQB e.V.		Lizenz CC BY 3.0

Aufgabe 6 Grad und Nullstellen 𝕃

Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:

a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen und besitzt.
b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.

AFB II	Kompetenzen K1 K6 K4	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Martina Wagner		Lizenz BY-SA

Aufgabe 7 Grad 6 eine Lösung 𝕃

Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.

AFB III	Kompetenzen K1 K2 K5 K6	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Martina Wagner		Lizenz BY-SA

Aufgabe 8 Rückwärts lösen 𝕃

```
 
```
$\begin{align*} \square x^3+\square &= 0\\ \square x^3 &=\square\quad \left| :2\\ x^3 &= \square \\ x &= -2 \end{align*}$
```
 
```
$\begin{align*} 2x^3+\square x^2 &= 0 \\ \square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP } \end{align*}$
$\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6$
```
 
```
$\begin{align*} x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\ z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } & \end{align*}$
$\begin{align*} \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\ z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square} \end{align*}$
$\begin{align*} &\text{Resubst.: } \square := x^2\\ &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\ &x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2 \end{align*}$

AFB III	Kompetenzen K2 K5	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Martina Wagner		Lizenz BY-SA

Aufgabe 9 Einfache Ungleichung

Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: -a < -b
Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
Sara möchte zu beiden Seiten a+b addieren.
Paul möchte beide Seiten mit multiplizieren.
Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Stefanie Schmidt		Lizenz BY-SA

Aufgabe 10 Verfahren Ungleichungen 𝕃

Erläutere die drei grundlegenden Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen:

das tabellarische Verfahren,
das graphische Verfahren,
das rechnerische Verfahren.

Alternativ. Stelle dir vor, du sollst einem Mitschüler oder einer Mitschülerin erklären, welches der drei Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen in welcher Situation besonders sinnvoll ist. Formuliere eine Empfehlung mit Begründung und zeige dabei, dass du die Verfahren sicher verstanden hast.

AFB II	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb		Lizenz BY-SA

Aufgabe 11 Anwendung drei Verfahren 𝕃

Gegeben ist die Polynomfunktion mit f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 . Untersuche, für welche Werte von die Ungleichung f(x) > 0 erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:

Tabellarisches Verfahren (Teil 1). Erstelle zunächst eine Wertetabelle für $x = -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$ . Interpretiere das Vorzeichenverhalten von .
Tabellarisches Verfahren (Teil 2). Ergänze anschließend weitere Funktionswerte für $x = -1{,}5,\ -0{,}5,\ 0{,}5,\ 1{,}5$ . Interpretiere nun genauer, in welchen Intervallen die Ungleichung erfüllt sein könnte.
Graphisches Verfahren. Skizziere den Graphen der Funktion qualitativ. Nutze dafür die bisherigen Werte sowie Kenntnisse über Achsensymmetrie und das Verhalten im Unendlichen.
Rechnerisches Verfahren. Bestimme die Nullstellen rechnerisch und leite daraus die Lösung der Ungleichung ab.

AFB II	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 25 min
Quelle ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb		Lizenz BY-SA

Aufgabe 12 Quadratische Ungleichung 𝕋 𝕃

Gegeben ist die Ungleichung $3x^2+12x+9\le0$ .

Löse die Ungleichung graphisch
Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Stefanie Schmidt		Lizenz BY-SA

Aufgabe 13 Quadratische Ungleichung 𝕋 𝕃

Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion f mit f(x)=3x^2+12x+9 unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: -(3x^2+12x+9)>0 .

AFB II	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Stefanie Schmidt		Lizenz BY-SA

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

	K1	K2	K4	K5	K6
I	0	0	2	3	0
II	2	1	5	3	1
III	1	2	0	2	1

Bearbeitungszeit gesamt: 97 min

Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst